Ejercicios resuelto EDO primer orden

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Campus Santiago

E.D.O de primer orden
1. Clasifique y resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden
dy
ex
=
, y(0) = 2
dx
2y
b) 2xydx + (x2 + 1)dy = 0
dy
y
5
c)
− = − x2 y 3
dx x
2

a)

Solución :
(a) La ecuación

dy
ex
=
,
dx
2y

y(0) = 2 es de variables separables. Por lotanto, se tiene
2ydy = ex dx

Integrando obtenemos
y 2 = ex + c
Como y(0) = 2, obtenemos
4 = 1 + c =⇒ c = 3
Luego, la solución de la ecuación es
y(x) =

√

ex + 3

(b) Esta ecuación es exacta, pues
∂M
∂N
= 2x =
∂y
∂x
Por lo tanto,
u(x, y) =

2xydx + g(y) = x2 y + g(y)

Derivando la solución con respecto a y, obtenemos
∂u
= x2 + g (y)
∂y
Como la ecuación es exacta se debesatisfacer que
x2 + g (y) = x2 + 1 =⇒ g (y) = 1 =⇒ g(y) = y
Luego, la solución de la ecuación es
u(x, y) = x2 y + y = K
(c) Esta ecuación es de Bernuolli. Hacemos el cambio de variable z = y −2 . Derivando, con
respecto a x, obtenemos z = −2y −3 y . Reemplazando, en la ecuación obtenemos la ecuación
lineal
2
z + z = 5x2
x
Su solución es
z(x) = x−2 (x5 + c) = x3 + cx−2
Por lo tanto, lasolución de la ecuación es
1

y(x) = (x3 + cx−2 )− 2

2. Considere la ecuación diferencial y + ex−y + ex = 0,

y(0) = 1

a) Pruebe que el cambio de variable u = ey transforma la ecuación dada en la ecuación lineal
du
= −uex + ex
dx

Solución : Derivando el cambio de variable con respecto a x, tenemos
dy
du
= ey ·
dx
dx

dy
du
= e−y ·
dx
dx

=⇒

Reemplazando en laecuación, se obtiene:
du
= −uex + ex
dx
b) Encuentre la solución y(x) de la ecuación.
Solución : Como la ecuación anterior es lineal de primer orden, usamos la fórmula de
Leibniz para obtener su solución
u(x) = 1 + ce−e

x

Por lo tanto, la solución general del problema de valores iniciales es
ey = 1 + ce−e

x

Usando la condición inicial, obtenemos el valor de la contante c
e = 1 +ce−1

c = (e − 1)e

=⇒

Luego, la solución que pasa por el punto (0,1) es
ey = 1 + e(e − 1)e−e

x

3. Resuelva la siguiente ecuación
y = e2x y 2 − 2y − 9e−2x ,

y(0) = 4

sabiendo que tiene una solución particular de la forma y1 (x) = aekx .
Solución. Como y1 es solución de la ecuación se tiene:
akekx = e2x a2 e2kx − 2aekx − 9e−2x
o
ekx (ak − a2 e2x+kx + 2a) = −9e−2x
De aqui, seobtiene que a = 3 (o a = −3) y k = −2.
La ecuación dada es una ecuación de Ricatti, hacemos el cambio de variable
y = 3e−2x +

1
z

y la transformamos en la ecuación lineal,
dz
= −4z − e2x
dx
que tiene por solución
1
z(x) = ce−4x − e2x , c constante
6
Por lo tanto, la solución general de la ecuación dada es
6
,
c1 e−4x − e2x

y(x) = 3e−2x +

c1 constante

Además, como y(0)= 4, obtenemos
4=3+

6
=⇒ c1 = 7
c1 − 1

Luego, la solución es
y(x) = 3e−2x +

4.

a) Resolver la ecuación: y =

6
7e−4x − e2x

2y 4 + x4
xy 3

Solución Notar que la ecuación (2y 4 +x4 )dx−xy 3 dy = 0 es homogénea de grado 4. Haciendo
y
el cambio de variable z = obtenemos la ecuación de variables separadas
x
z3
dx
dz =
4+1
z
x
cuya solución es z 4 + 1 = kx4 , con kconstante real.
Por lo tanto, la solución de la ecuación es
y4
+ 1 = kx4 ⇐⇒ y 4 = x4 (kx4 − 1)
x4

b) Resolver la ecuación de Riccati y = −
Si una solución particular es y(x) =

1
y
− + y2
x2
x

1
x

1
1
Solución Haciendo el cambio de variable y = + la ecuación de Riccati se transforma
x z
en la ecuación lineal
1
z =− −1
x
cuya solución es
x
c
z(x) = − +
2 x
Por lotanto,
y(x) =

1
+
x

c
x

1
−

x
2

5. Resuelva y − y tan(x) + y 2 cos(x) = 0
Solución: Esta es una ecuación de Bernuolli. Haciendo z = y −1 se obtiene la ecuación lineal
z = −z tan(x) + cos(x)
y su solución es
z(x) = (x + c) cos(x),

c∈R

Por lo tanto, la solución de la ecuación de Bernoulli es
y(x) =

6. Encuentre la solución de

1
,
(x + c) cos(x)

y la...