Ejercicios Resueltos de Electricidad y magnetismo

Ejercicios Resueltos de
Electricidad y Magnetismo
Juan Pablo Garrido L.
Daniel Narrias V.

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Índice general
1. Ley de Coulomb

5

2. Integrales de Coulomb

19

3. Ley de Gauss

39

4. Potencial Electroestatico

63

5. Conductores

93

6. Condensadores

103

7. Dielectricos

121

8. Corriente Electrica

143

9. Fuerza producida por un campo magnetico169

10.Ley de Biot-Savart

175

11.Ley de Ampere

181

12.Ley de Faraday-Lenz

191

13.Induccion

197

NOTA: Los resultados podrian eventuamente tener errores de tipeo. Ante cualquier duda

escribir a: jbgarrid@uc.cl o dnarrias@uc.cl

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4

ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1
Ley de Coulomb
Problema 1
Dos bolitas idénticas tienen una masa m y carga q. Cuando se ponen en untazón esférico
de radio R con paredes no conductoras y sin fricción, las bolitas se mueven hasta que en la
posición de equilibrio están separadas por una distancia R. Determine las cargas de las bolitas.

Solución:
Para aplicar la condición de equilibrio es necesario que escribamos todas las fuerzas sobre una
de las bolitas cargadas. Para esto consideramos la siguiente conguración para elproblema:

La fuerza normal N se puede escribir usando sus componentes rectangulares como:
N = N cos(π/3)ˆ + N sin(π/3)ˆ
i
j

La fuerza Fe es la ejercida por la bolita de la derecha sobre la bolita de la izquierda y es:
Fe =

5

kq 2
R2

CAPÍTULO 1. LEY DE COULOMB

6

Ahora sumamos fuerzas por componente sobre la bolita de la derecha y aplicamos la condición
de equilibrio:Fuerza en X:

kq 2
=0
R2

(1)

FY = N sin(π/3) − mg = 0

(2)

FX = N cos(π/3) −
Fuerza en Y:
De (2) vemos que

N=

mg
sin(π/3)

Reemplazando esta expresion en (1):

mg
kq 2
cos(π/3) − 2 = 0
sin(π/3)
R
Despejando q

q = ±R

mg cot(π/3)
k

7

Problema 2

Se tienen dos masas iguales m de misma carga q unidas a través de un segmento vertical jo.
La masa inferiorestá ja al extremo inferior del segmento y la masa superior se puede mover
libremente.
a) Encuentre la posición de equilibrio de la masa superior.
b) Encuentre la frecuencia de pequeñas oscilaciones de la masa en torno a su punto de
equilibrio.

Solución:
a) Las cargas eléctricas son de mismo signo, por lo que la fuerza eléctrica entre ambas es
repulsiva. Así, la masa superior experimentauna fuerza eléctrica hacia arriba y su peso
hacia abajo, estando en equilibrio cuando ambas fuerzas son iguales. Considerando esto
tenemos,
q2
mg = k 2
x0
con x0 posición de equilibrio.

=⇒ x0 = q ·

k
mg

(1)

b) Consideremos una coordenada x en torno la posición de equilibrio x0 . Tenemos por 2da
ley de Newtón
kq 2
d2 x
F = m 2 = −mg +
dt
(x0 + x)2
x
Para oscilacionespequeñas, |x| 0 esta rodeada por una supercie cerrada formada por un manto cónico
de radio R y altura H , y una supercie semiesférica concéntrica con la carga, según se observa
en la gura. Calcule el ujo de campo eléctrico a través del manto cónico.

Solución:
La supercie que rodea a la carga q es cerrada. Por la ley de gauss, el ujo a través de la
supercie es:
φ=
S

E · dS =

qǫ0

(1)

Además, el ujo que atraviesa la supercie cerrada (que llamamos S) será igual a la suma de
los ujos que pasen por la semiesfera (que llamamos Se ) y los ujos que pasen por el manto
cónico(que llamamos Sc ). Esto se puede escribir como: φ = φe + φc
=⇒ φc = φ + φe

(2)

De esta manera, encontrando el valor de φe resolvemos el problema inmediatamente. φe se
calcula como:
φe =Se

E · dS

1
El campo eléctrico producido por la carga q es E = 4πǫ Rq r. Donde r es el vector unitario
ˆ
ˆ
en dirección radial. El vector dS también esta en dirección radial, ya que dS = ndS y n es
ˆ
ˆ
paralelo a r como muestra la gura:
ˆ
0

37

2

CAPÍTULO 3. LEY DE GAUSS

38

De esto, se tendrá que

E · dS =

1 q
1 q
r · ndS =
ˆ ˆ
dS
2
4πǫ0 R
4πǫ0 R2...