Ejercicios resueltos de programacion matematica

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN CLÁSICA

1.- ¿Es el punto (1, 1) un mínimo local de la función f(x, y) = x2 - y2? En caso
afirmativo, justifíquelo.

Solución:
Puesto que el dominio de la función es todo el espacio ℜ2 (conjunto abierto) y la
función es de clase uno en todo su dominio, para que el punto (1,1) sea un mínimo local
ha de ser un punto crítico de la función (Condiciónnecesaria de primer orden para los
óptimos de un problema irrestricto). Comprobemos si lo es:
⎛ ∂f ⎞
⎜ ⎟ ⎛ 2x ⎞
⎛ 2 ⎞ ⎛0⎞
∂x
∇f ( x, y ) = ⎜ ∂f ⎟ = ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟
⎜ − 2 y ⎟ ⇒ ∇f (1,1) = ⎜ − 2 ⎟ ≠ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟ ⎝
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎠
⎜ ∂y ⎟
⎝ ⎠
de lo cual se desprende que el punto (1,1) no es un punto crítico de la función y, por
tanto, no puede ser un mínimo.

2.- Justifique que el punto (0, 0) es unpunto de silla de la función:

f(x, y) = (-x -y)2 -2x2
Solución:

Dada una función escalar definimos Punto de Silla como: aquellos puntos que
r
r
pertenecen al dominio de la función, x * ∈ D , anulan al gradiente, ∇F ( x * ) = 0, y además
verifican que:
r
r r
r
r
r
r
Para cualquier entorno del punto, N ( x * ) ∃ x ≠ y ∈ D ∩ N ( x * ) / F ( x ) ≤ F ( x * ) ≤ F ( y )
es decir no sonni máximos ni mínimos dado que existen valores donde la función vale
más y donde vale menos.
Dada la definición vamos a ver si el punto (0, 0) es punto de silla de la función:
f(x, y) = (-x -y)2 -2x2
para ello vamos a ver si verifica la primera de las condiciones, es decir, que anula al
gradiente:

⎛ − 2(− x − y ) − 4 x ⎞
⎛0⎞
⎟ ⇒ ∇f (0, 0) = ⎜ ⎟
∇f ( x , y ) = ⎜
⎜ − 2(− x − y ) ⎟
⎜0⎟⎝
⎠
⎝ ⎠
Luego se trata de un punto crítico de la función f. Si la evaluamos en el punto, resulta
que f(0, 0) = 0, y si, por ejemplo, tomamos dos puntos en un entorno del (0,0) de la
forma (ε, 0) y (0, ε), los cuales pertenecen al dominio, dado que en este caso la función
esta definida en todo el espacio. La función en tales puntos verifica:
(ε , 0) ≠ (0, ε ) / f (ε , 0) ≤ f (0, 0) ≤ f (0,ε )
−ε 2 ≤ 0 ≤ ε 2
por lo que efectivamente es un punto de silla.
Otra forma de verificar que un punto sea de silla es utilizando la siguiente
condición de segundo orden:
r
r
r
Sea x * ∈ D y ∇F ( x * ) = 0 , es decir, punto crítico, entonces x * es punto de silla si la
hessiana de la función f en el punto es indefinida.
En nuestro caso tenemos la siguiente hessiana

⎛ − 2 2⎞
Hf ( x,y ) = ⎜
⎜ 2 2⎟
⎟
⎝
⎠
la cual, como sale numérica, no depende del punto y efectivamente es indefinida puesto
que alterna signo en la diagonal principal.

3.- Determine el óptimo global del problema:

Min x2 + y2 - 8x - 6y
s.a.
x2 + y2 = 1
Solución:
Construimos la función de Lagrange asociada a este problema:

L( x, y; λ ) = x 2 + y 2 − 8 x − 6 y − λ ( x 2 + y 2 − 1)
y aplicamos lascondiciones necesarias de primer orden, es decir, calculamos sus puntos
críticos:
4
∂L( x, y; λ )
= 2 x − 8 − 2λ x = 0 ⇒ 2 x(1 − λ ) = 8 ⇒ 1 − λ =
∂x
x
3
∂L( x, y; λ )
= 2 y − 6 − 2λy = 0 ⇒ 2 y (1 − λ ) = 6 ⇒ 1 − λ =
∂y
y
∂L( x, y; λ )
= −( x 2 + y 2 − 1) = 0 ⇔ x 2 + y 2 = 1
∂λ

igualando 1 - λ, obtenemos que:

4 3
3
=
⇒y = x
x y
4

Sustituimos en la tercera ecuación:
2x2 + y2 = 1

4
25 2
⎛ 3 ⎞
⇒ x2 + ⎜ x⎟ = 1 ⇒
x =1 ⇒ x =±
5
16
⎝ 4 ⎠

3
⎞
⎛4 3
⎞ ⎛ 4
resultando así dos puntos críticos: ⎜ , , − 4 ⎟ y ⎜ − , − , 6 ⎟.
5
⎠ ⎝ 5
⎠
⎝5 5
El siguiente paso será aplicar las condiciones suficientes de segundo orden a
cada uno de estos puntos críticos de la función de Lagrange. Para ello necesitamos, la
hessiana reducida (es decir, sólo con respectoa las variables originales del problema) y
el gradiente o la matriz jacobiana de las funciones que determinen las restricciones :
⎛ 2 − 2λ
HL( x , y ) ( x, y, λ ) = ⎜
⎜ 0
⎝

0 ⎞
⎟
2 − 2λ ⎟
⎠

⎛ 2x ⎞
∇g ( x , y ) = ⎜ ⎟
⎜2y⎟
⎝ ⎠

Considerando cada punto crítico separadamente resulta:
⎞
⎛4 3
a) Para ⎜ , , − 4 ⎟ hay que clasificar:
⎝5 5
⎠
0 ⎞⎛h ⎞

⎛10

1
2
2
φ (h1 , h2...