ejercicios reueltos de optimizacion sin restricciones

OPTIMIZACION
Wilson Anacona.
03 de Marzo de 2015

17. Demostrar que para todo x ∈ Rn se satisfacen las siguientes desigualdades.
1. x
2. x
3. x

≤ x 1≤n
√ x ∞
∞ ≤ x 2 ≤√ n x ∞
n x 2
2 ≤ x 1 ≤
∞

Soluci´on:
sea x ∈ Rn
1. x

∞

= m´ax |xi |
1≤i≤n

x

∞

= |xj |

para algun j ∈ {1, 2, .., n}

n

≤

|xi |
i=1

= x 1 luego
x ∞≤ x 1
x 1≤n x ∞
n

x

1

|xi |

=
i=1

Sea m = m´ax |xi | luego
1≤i≤n

x

1≤ m+m+...+m= nm

Esto es x

2. x

∞

≤n x

∞

= m´ax |xi |

m´ax |xi | = m´ax

1≤i≤n

1

1≤i≤n

1≤i≤n
xi 2

=

xj 2

para algun j ∈ {1, 2, .., n}

1

n
i=1

≤

xi 2 = x

2

por lo tanto
x ∞≤ x 2

x

Ahora
√ veamos que
≤
n x ∞
2

x

2
2

n

xi 2

=
i=1

sea m= m´ax |xi |
1≤i≤n

n

luego
xi 2 ≤ m2 + ... + m2 = nm2
√ i=1
= nm
√
por lo tanto x 2 ≤ n x ∞
n

3. x

2
2

n

≤ m´ax |xi |
1≤i≤n

|xi |2=
i=1

|xi | = x

∞

x

1

i=1

Y por la aparte 1 tenemos
x 2≤
x ∞ x 1≤ x

1

≤n x

∞

≤ n x

2

2

Primer ejercecio de optimizaci´
on

Profesor: Favin Enrique Arenas Aparicio

Presentado por: Edwin Jayver Arteaga Gaitan

Optimizaci´
on

Universidad del Cauca

Marzo 3 de 2015

1

Favi´an Arenas Aparicio

Problema 15. Demuestre que si A ∈ Rn×n es una matriz definida positiva, entonces
aii > 0 ∀ i∈{1, 2, 3..., n}.


a11 a12 ... a1n
 a21 a21 ... a2n 
Soluci´
on: Sea A = 
.. . .
. 
 ...
. .. 
.
an1 an2 ... ann
por hipotesis sabemos que xT Ax > 0, ∀ x ∈ Rn -{0}.
Definamos xi = (0, 0, ..., 1, ..., 0) en la i-´
esima componente ∀ i∈ {1, 2, 3..., n},


a11 a12 ... a1n
 a21 a21 ... a2n 
entonces xi T Axi = (0, 0, ..., 1, ..., 0)T 
.. . .
.  (0, 0, ..., 1, ..., 0) = aii
 ...
. .. .
an1 an2 ... ann
y por definici´on de matriz positiva, se tiene que aii > 0 ∀i.

2

Favi´an Arenas Aparicio

Optimizaci´on 1
Johan Caicedo Gonzalez
4 de marzo de 2015
Problema 15.7 Sea A ∈ Rn×n una matriz sim´etrica, λm y λM los valores propios menor y
mayor de la matriz A. Demuestre que para cualquier vector Z ∈ Rn , se verifica que:
λm z

2

≤ Z T AZ ≤ λM Z

2

(1)

como (1) es llamada ladesigualdad de Rayleigh.
como los autovectores forman una base, por tanto cualquier vector Z puede escribirse
de la forma
M

Z=

αi ui
i=m

El cociente de Rayleigh se puede escribir de la forma ρ(Z) =
ρ(Z) =

(
(

M
M
T
i=m αi Zi )
i=m αi Zi ) Z(
M
M
T
i=m αi Zi )
i=m αi Zi )

=

M
i=m
M
i=m

Z T AZ
ZT Z

M
T
j=m αi αj (Zi AZj )
M
T
j=m αi αj (Zi Zj )

Como uTi Aui = uTi (λi ui ) = λi δij por tanto.ρ(Z) =

M
i=m
M
i=m

M
j=m αi αj λj δij
M
j=m αi αj δij

=

M
2
i=m αi λi
M
2
i=m αi

para la primera desigualdad.
M
2
i=m αi λi
M
2
i=m αi

≥

α12 λm + · · · + αn2 λm
= λm
α12 + · · · + αn2

M
2
i=m αi λi
M
2
i=m αi

≤

α12 λM + · · · + αn2 λM
= λM
α12 + · · · + αn2

para la otra desigualdad

Con estas dos desigualdades tenemos que se cumple (1)

1

luego.

Tarea De Optimizaci´on
Profesor: FabianArenas
Presentado Por: Diego Molina

0{.}5

Ejercicio 1.4 Sean f la funci´
on de Beale, x = (3 0,5)T y p = (−2 0,5)T . Use el teorema de Taylor de
segundo orden para obtener el valor de f (x + p). Compare con el valor de f (x + p) obtenido a partir
de la definici´
on de la funci´
on.
f (x) = (1, 5 − x(1 − y))2 + (2, 5 − x(1 − y 2 ))2 + (2, 65 − x(1 − y 3 ))2

Soluci´
on: Como vamos a usar elteorema de Taylor de segundo orden para obtener el valor de f (x + p),
que seria:
1
f (x + p) = f (x) + ∇f (x)T p + pT ∇2 f (x)p
2
Ahora calculemos ∇f (x)

=

df
dx
df
dy

=

d
dx ((1,5
d
dy ((1,5

=

2(y − 1)(xy − x + 1,5) + 2(y 2 − 1)(xy 2 − x + 2,25) + 2(y 3 − 1)(xy 3 − x + 2,65)
2x(xy − x + 1,5) + 4xy(xy 2 − x + 2,25) + 6xy 2 (xy 3 − x + 2,65)

∇f (3 0,5)

=

−0,04375
0,1125

∇f (3 0,5)T p

=−0,04375

∇f (x)

=

− x(1 − y))2 + (2,25 − x(1 − y 2 ))2 + (2,65 − x(1 − y 3 ))3 )
− x(1 − y))2 + (2,25 − x(1 − y 2 ))2 + (2,65 − x(1 − y 3 ))3 )

0,1125

−2
0,5

0,14375

seguimos ahora con las componentes de la matriz hessiana (∇2 f (x))
d2 f
dx2

=
=

d2 f
dydx

=
=

d2
[2(y − 1)(xy − x + 1,5) + 2(y 2 − 1)(xy 2 − x + 2,25) + 2(y 3 − 1)(xy 3 − x + 2,65)]
dx2
2(y 3 − 1)2 + 2(y 2 − 1)2 + 2(y −...