Ejercicios Sobre Distancia

nci¾º

Ë

f ÙÒ

ÔÐ

Ò ÒÝ
Ø Ú

ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ E Ò R

ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð

ÔÐ

Ò

d(x, y ) = |f (x) − f (y )|

× ÙÒ

×Ø Ò


ÙÐØ

×Ó Ö E º

½℄

ËÓÐÙ
Ò
Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö × ÒÑÜ ÓÑ ×
×Ø Ò
º

ØÓ Ó × ÖÚ Ö ÕÙ d × ÙÒ

ÔÐ

Ò

E × E Ò Rº Î ÑÓ× ÕÙ Ú Ö
ÐÓ×

½º È Ö ØÓ Ó x ∈ E ¸ × Ø Ò ÕÙ d(x, x) = |f (x) − f (x)| = 0º
¾º Ë Ò x, y ∈ E Ø Ð × ÕÙ d(x, y ) = 0 ÒØÓÒ× |f (x) − f (y )| = 0 ݸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ f (x) − f (y ) = 0 Ý
f (x) = f (y )º ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ f × ÒÝ
Ø Ú ¸ × ÕÙ ¸ Ò
× Ö Ñ ÒØ ¸ x = y º
¿º È Ö ØÓ Ó x, y, ∈ E
ÓÒ x = y ¸ × Ø Ò ØÖ Ú ÐÑ ÒØ ÕÙ d(x, y) ≥ 0º
º È Ö ØÓ Ó x, y, ∈ E ¸ × Ø Ò ÕÙ d(x, y ) = |f (x) − f (y )| = |f (y ) − f (x)| = d(y, x)º
º

Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ô Ö ØÓ Ó x, y, z ∈ E ¸ × Ø Ò ÕÙ
d(x, y ) = |f (x) − f (y )| = |f (x) − f (z )+ f (z )− f (y )| ≤ |f (x) − f (z )| + |f (z ) − f (y )| = d(x, z )+ d(y, z )

¾º½¼

Ë Ò d1 , d2 , . . . , dn Ñ ØÖ
× ×Ó Ö ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ E º

Ñ ×ØÖ × ÕÙ

n

d(x, y ) =

di (x, y )
i=1

× ÙÒÑ ØÖ
Ô Ö E º

ÙÐØ

½℄

ËÓÐÙ
Ò
ÈÓÖ
Ð Ö

¸ÝÔ Ö

Ú Ø Ö Ö Ô Ø
ÓÒ ×¸ ×ÙÔÓÒ Ö ÑÓ× Ò ÐÓ ÕÙ × Ù ÕÙ i = 1, 2, . . . , nº

Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö Ó × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ ¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ô Ö
ÐÓ × d ÔÓÖ × Ö ×ÙÑÔÐ

ÓÒ ×º

i¸ di × ÙÒ

ÔÐ

Ò

E × E Ò R¸ Ø Ñ

Ò

Ñ×
½º È Ö ØÓ Ó x ∈ E ¸ × Ø Ò ÕÙ di (x, x) = 0 ݸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ¸ d(x, y ) =

n
i=1

di (x, y ) = 0º

¾º È Ö ØÓ Ó x, y ∈ E
ÓÒx = y ¸ × Ø Ò ÕÙ di (x, y ) > 0 ݸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ d(x, y ) =
¿º Ë Ò x, y ∈ E º Ë d(x, y ) = 0¸ ÒØÓÒ
×
di (x, y ) = 0 ݸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ô Ö
Ø Ò ÕÙ di (x, y ) = 0¸
ÓÒ x = y ¸ ÔÓÖ × Ö di ÙÒ
×Ø Ò
º
ni=1

º È Ö ØÓ Ó x, y ∈ E ¸ × Ø Ò ÕÙ di (x, y ) = di (y, x) Ô Ö
n

d(x, y ) =

i¸

n
i=1

di (x, y ) > 0º

i¸ di (x, y ) ≥ 0 ×

Ñ Ò Ö ÕÙ

n

di (x, y ) =
i=1

di (y, x) = d(y,x).
i=1

º Ë Ò x, y, z ∈ E º ÒØÓÒ
׸ ÔÓÖ × Ö di ÙÒ

×Ø Ò

Ò E ¸ × Ø Ò ÕÙ ¸ Ô Ö

i¸

di (x, y ) ≤ di (x, z ) + di (z, y ),

ÓÒ ¸
n

d(x, y ) =

n

di (x, y ) ≤
i=1

ÄÙ Ó d...