El Choto

Matemática C
1o Control de Regularidad
1. Considere que una partícula se mueve de acuerdo con una función posición dada por r(t) =
ti + 4 j, para t > 0.
t
a) Encuentre la velocidad, la aceleración yla rapidez de la partícula.
b) Dibuje la trayectoria de la partícula y los vectores velocidad y aceleración para el valor
t = 2.
8
2. Halle la longitud de la curva r(t) = 4ti + 3 t 2 j + t2 k desde elpunto (0, 0, 0) hasta el punto
8
(4, 3 , 1) y determine el vector unitario T(t) en el punto t = 1.
3

3. Uno de los puntos de intersección de las curvas planas r1 (t) = cos(t)i + sin(t)j y r2 (s) =
si + ( 1 − 1)j es el punto (1, 0). Determine el ángulo de intersección de las curvas en dicho
s
punto.

Resolución
1. a) Para t > 0 tenemos
4
t

r(t) =

t,

r (t) =

1, −

r (t) =

0,

4
ti + j,
t
4
=i − 2 j,
t
8
j.
=
t3

=
4
t2

8
t3

Además, la rapidez viene dada por la expresión
|r (t)| =

1+

−4
t2

2

=

1+

16
.
t4

b) Por los datos de la parte a), para t = 2 se tiene

r(2) = (2, 2),

r (2)= (1, −1),

r (2) = (0, 1).

Además, si x = t e y = 4/t entonces y = 4/x y la trayectoria para t > 0 es la siguiente.

Figura 1: Trayectoria de la curva.

2. Dado que r(t) = (0, 0, 0) implica que t= 0 y r(t) = (4, 8/3, 1) implica que t = 1 la longitud
de la curva buscada viene dada por la expresión
L=

ˆ

1

|r (t)| dt .

0

Ahora

r (t) = (4, 4t1/2 , 2t) ,
|r (t)|2 = 16 + 16t + 4t2 = 4 (4 + 4t+ t2 ) = 4 (t + 2)2 ,

Lo que implica que

|r (t)| = 2 |t + 2| .

Dado que para 0 ≤ t ≤ 1 se tiene |t + 2| = t + 2 calculamos
ˆ

ˆ

1

1

(t + 2) dt = (t + 2)2

2 |t + 2| dt = 2
0

0

Por otro lado,T(1) =

1
0

= 9 − 4 = 5.

r (1)
(4, 4, 2)
221
=
=
,,
|r (1)|
2 |1 + 2|
333

.

3. Con el siguiente razonamiento calculamos el parámetro que origina el punto para cada una
de las curvas.
r1 (t) =(cos(t), sin(t)) = (1, 0) ⇒ t = 0 ,
1
s

r2 (s) = s, − 1 = (1, 0)

⇒

s = 1.

Dado que la derivada proporciona el vector director de la recta tangente a la curva en cada
punto tenemos

r1 (t) = (−...