El Conjunto De Cantor

EL CONJUNTO DE CANTOR

Construcción del Conjunto de Cantor:
El conjunto de tercio medio es, problamente, el más usual ejemplo y contraejemplos cuantos se utilizan en el estudio se ciertas áreas de matemática. Fue construido por primera veza fines del ciclo XIX por Georg Cantor para resolver un problema que se había planteado en el macro de la naciente topología, a saber, si existía o no unsubconjunto no vacio de R que fuera totalmente y denso en sí mismo. Cantor probo que si existe, mas tarde ya en el ciclo XX se demostró que todos los conjuntos con estas características son topológicamente equivalentes (hemeomorfos).
Comenzamos tomando el intervalo [0,1] de la recta real, al que llamaremos C0, y dividámoslo en tres subintervalos iguales.
De ésta manera obtenemos los siguientesintervalos [0,13], (13,23), [23, 1] y nos deshacemos del intervalo (13,23),
Luego, obtenemos el conjunto C1=[0,13]U [23, 1]
Ahora repetimos el proceso anterior en cada uno de los intervalos deC1, entonces
C2= [0, 19] U [29,39] U [69,79] U [89,1]
Procediendo de la misma manera obtendremos C3, C4, C5, C6, C7, …
De esta manera definimos el conjunto de Cantor como la intersección de todos los CIconstruidos con anterioridad, es decir, C=i∈NC i
Gráficamente el conjunto de Cantor es el siguiente:

Finalmente el Conjunto de Cantor, que durante todo este trabajo se le denotará por la letra C, se denotara como la intersección de todos los conjuntos Cn. Es decir,
C=n=1∞Cn
Además denotaremos por Jn,i al i-ésimo intervalo presente en la n-ésima iteración:
Cn=k=12nJn,k

Corolario1:Cnes la unión de 2n intervalos cerrados y ajenos.
Demostración. Haremos esta prueba por inducción matemática. Claramente C1 está formado por 2 = 21 intervalos cerrados y ajenos. Supongamos ahora que Cn está formado por 2n intervalos cerrados y ajenos. Sabemos que Cn+1 se obtiene de Cn a partir de dividir cada uno de los intervalos cerrados que conforman a Cn en tres partes iguales y retirar el de enmedio.
Entonces de cada intervalo de Cn obtenemos dos intervalos. De modo que Cn+1 tiene el doble de intervalos que Cn: Puesto que Cn tiene 2n, tenemos que Cn+1 está formado por 22n = 2n+1intervalos cerrados y ajenos.
De acuerdo con la proposición anterior los intervalos que conforman a Cn son 2n: Entonces una manera práctica de numerarlos será tomando el conjunto de índices j ∈ {0, 1, 2,…,2n-1}. Durante todo este trabajo denotaremos con el símbolo N* el conjunto de los números naturales incluyendo al cero. Ahora vamos a dar una manera de construir el extremo izquierdo del j-ésimo intervalo de Cn: Para esto haremos una construcción general de unos números aj, para las j ∈ N*.

Construcción: Sea j ∈ N* .Si j = 0; definimos a0 = 0. Si j ≠ 0 entonces escribimos a j en su notaciónbinaria, es decir: j = b0. 20 + b1. 21 + …. + bn. 2n:
Donde bn = 1 y bi ∈{0.1}.Definimos: aj = 2b0. 30 + 2b1. 31 +… + 2bn. 3n.
En otras palabras, podemos expresar la construcción así:
Dada j ∈ N, la escribimos en su notación binaria, los unos los transformamos en doses y se piensa en el número correspondiente como un número escrito en base tres.
Por ejemplo si j = 10; entonces en notación binaria, j= 0. 20 + 1. 21 + 0. 22 + 1. 23
Por construcción aj = a10 = 0. 30 + 2. 31 + 0. 32 + 2. 33 = 6 + 2(27) = 6 + 54 = 60
Corolario2: a2n = 2. 3n Para cada n ∈ N*.
Demostración. Como 2n = 0. 20 + 0. 21 + 0. 22 +… + 1. 2n.
Calculando a2n tenemos lo siguiente: a2n= 0. 2. 30 + 0. 2. 31 +… + 1. 2. 3n = 2. 3n.
El siguiente teorema nos da una manera muy fácil y útil de calcular aj. En él mostramos quela función aj tiene algunas propiedades de linealidad.
TEOREMA 1: Sea j ∈ N. Expresamos aj en su notación binaria, esto es:
j =b0. 20 + b1. 21 +… + bn.2n
Entonces: aj = ab0. 20 + b1. 21 +… + bn.2n =b0. a.20 + b1. a.21 +… + bn.a.2n

Demostración. Sea j ∈ N* fijo pero arbitrario y, lo expresamos en su notación binaria, esto es: j =b0. 20 + b1. 21 +… + bn.2n
(Estamos suponiendo que bn = 1)....