El lema de riemann-lebesgue para la integral impropia de riemann

El lema de Riemann-Lebesgue para la integral impropia de Riemann

Resumen

El Lema de Riemann-Lebesgue (uno de sus casos especiales también se llama Teorema de Mercer), es de importancia dentro del análisis armónico y el análisis asintótico. Su nombre es en honor a Bernhard Riemann y Henri Lebesgue.
El lema dice que la transformada de Fourier de funciones en [pic]desaparece en el infinito.
Intuitivamente, el lema dice que si una función oscila rápidamente alrededor cero, entonces la integral de esta función será pequeña.
El objetivo de este trabajo fue determinar condiciones para que la transformada de Fourier exista para una función que es impropiamente integrable Riemann y estudiar la validez del lema de Riemann–Lebesgue bajo estascondiciones.

Introducción

El concepto de integral se extiende de manera casi espontánea a situaciones más generales que las que se han trabajado normalmente en un intervalo compacto [pic].

Definición 1.0 Sea [pic]. Se dice que una función [pic] es localmente integrable en A si es integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en A.
Por ejemplo, todas las funciones continuas y todas lasfunciones monótonas, acotadas o no, son localmente integrables.
Obsérvese que si [pic], una función f es localmente integrable en [pic] si y solo si es integrable en cada intervalo [pic]. Análogamente, si [pic], una función f es localmente integrable en (a, b] si y sólo si es integrable en cada intervalo [pic]

Definición 1.1 Dada una función [pic] localmente integrable,[pic], si existe ellímite
[pic]
y es finito, decimos que la integral impropia [pic] es convergente, y al valor de dicho límite lo llamamos integral impropia de f en el intervalo [pic]. Si el límite no existe decimos que la integral impropia diverge

Series de Fourier

Considérese la serie trigonométrica de Fourier generada por una función f que es integrable Lebesgue en [pic], por ejemplo

[pic]

Se plantean dospreguntas. ¿Converge la serie en algún punto de x en I? y si converge en x, ¿Acaso su suma vale f(x)? La primera pregunta se conoce como el problema de convergencia; la segunda se conoce como el problema de representación. En general la respuesta a ambas es “no”.

Supongamos que la serie converge a una función integrable f, es decir,

[pic] … (1)

y que, además, la serie se puedeintegrar término a término. Para calcular los coeficientes [pic] y [pic] multiplicaremos por las funciones del sistema trigonométrico básico y usaremos el siguiente teorema el cual no demostraremos:

Teorema 1.3 La integral sobre el intervalo [pic] del producto de cualquier par de funciones distintas del sistema trigonométrico básico

[pic]

es cero, es decir,

i) [pic]

ii) [pic]iii) [pic]

Multiplicando (1) por la función [pic] obtenemos

[pic]
e integrando, tenemos:
[pic]
Por el teorema 1.3 i), los segundos términos de la serie se anulan; por tanto

[pic].

Si m=0, la ecuación anterior resulta [pic], es decir,
[pic]
Ahora, por la integral iii) del teorema 1.3, si [pic], todos los términos en el miembro derecho de (2) se anulan, excepto cuando m=n, encuyo caso la integral vale [pic]; entonces para [pic], (2) se reduce a
[pic]
es decir,
[pic] .
Observe que para n=0 la fórmula anterior se reduce a (3), lo cual no sería cierto si en (1) el término [pic] no estuviera multiplicado por [pic].
Para calcular los coeficientes [pic], se multiplicará (1) por [pic] (m=1,2,…) e integramos el resultado
[pic]
Por la integral i) del teorema 1.3, todos lostérminos con coeficientes [pic] se anulan y (4) resulta

[pic],

cuyos términos se anulan, excepto cuando m=n, en cuyo caso la integral vale [pic], es decir, [pic]=[pic], o
[pic]
La serie trigonométrica
[pic]
con coeficientes [pic] y [pic], dados por

[pic], [pic]

se denomina serie de Fourier de la función f.

Integrales y transformadas de Fourier

Primeramente se enunciará...