Integral de Riemann

Integral de Riemann

1

Integral de Riemann
Ejemplo Introductorio:

¿Cuál es el área encerrada por el eje x, la recta
parábola y  x 2 .

x 1

y la

2

1

1

2
2

Integralde Riemann
Método Exhaustivo:
Arquímedes plantea un método para calcular área encerradas por
curvas, llamado método exhaustivo, mediante el cual para cada
número natural n dividimos el segmento[0,b] en n partes iguales
de longitud b/n. Sobre cada una de esas partes construimos un
rectángulo con la altura de la ordenada máxima.
1

1

1

1
3

Integral de Riemann
Particiones:
Si unconjunto P   x0 , x1,..., xn  divide a un intervalo
a, b  IR en subintervalos  xi 1, xi  , i  1, 2,..., n , tal que
x0  a y xn  b , entonces P es una partición de  a, b .

Se llamanorma de la partición al subintervalo de
mayor longitud, es decir, P  max xi .
1 i  n
Ejemplos:
0

0

1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4

1/4 3/8

5/8 3/4

7/8

1

1

P  18
P  14(Partición regular)

(Partición irregular)
4

Integral de Riemann
Sumas de Riemann:
f : a, b  IR

y P   x0 , x1,..., xn  una partición de
a, b , se define suma de Riemann como unasuma

Sea

S  f , P    f  xi*  xi
n

i 1

Sea

, tal que

xi*   xi 1, xi  .

M i  sup  f  x  / x   xi 1, xi  ,

entonces se define
n

suma superior de Riemann a S f , P    M i xi .
i 1
Sea

mi  inf  f  x  / x   xi 1, xi  ,

entonces se define
n

suma inferior de Riemann a S  f , P    mi xi .
i 1
5

Integral de RiemannEjemplo 1:
Sea

f : 0,1  IR, f  x   x 2 :

a) Calcule la suma de Riemann de f usando una partición regular
de 4 subintervalos y el punto medio de cada subintervalo.
Resolución:

P  0, 14 ,12 , 3 4 ,1 ,


 S  x , P    x
4

2

i 1

*
*
*
*
1
P  4  x1  18 , x2  3 8 , x3  5 8 , x4  7 8



* 2 1
i
4

· 

1
4

 81    83    85    78 ...