El Modelo De Regresi N Lineal Simple

El Modelo de Regresión Lineal Simple

Se denominan modelos de regresión a los modelos estadísticos que explican la dependencia de una variable dependiente “Y” respecto de una o varias variables cuantitativas “X”.
Un modelo de regresión lineal simple estudia la dependencia o relación que existe entre una variable dependiente que llamaremos Y y una variable independiente o predictora que lellamaremos X.
Se trata de estudiar una ecuación o un modelo del siguiente tipo:

 

A la variable , la llamamos término de perturbación o error, y es una variable que recoge todos aquellos factores que pueden influir a la hora de explicar el comportamiento de la variable Y y que sin embargo no están reflejados en la variable explicativa X.
El término de perturbación también recoge los posibleserrores de medida de la variable dependiente Y.
Nuestra labor consiste en estimar los parámetros yde la ecuación anterior a partir de los datos muestrales de los que disponemos. De tal forma que la recta que pase por los puntos se ajuste lo mejor posible a (X,Y). Para estimar los parámetros se utiliza el método de los mínimos cuadrados ordinarios que nos entrega las siguientes estimaciones delos parámetros:
, donde y

Luego la recta de regresión estimada es:

Diagramas de dispersión

Es la representación sobre unos ejes cartesianos de los distintos valores de la variable (X, Y). En el eje de abscisas (eje x) representamos los valores de X y en el de ordenadas (eje y) los valores de Y, de tal forma que cada par viene representado por un punto del plano X×Y. Este grafico se utilizapara detectar tendencias y comportamientos especiales de las variables.

Ejemplo 1: considere el número de empleados y los gastos fijos que se generan en cuatro empresas muy similares, se cree que existe una relación lineal entre ambas variables.
X: Nro de Empleados
Y: Gastos Fijos en miles de pesos
20
380
25
430
30
500
35
580









a) Grafique los datos para ver la tendencia



Delgráfico observamos una claro comportamiento lineal de los datos.

b) Encuentra los estimadores de y e interprete

Empresa
X: Nro de Empleados
Y: Gastos Fijos en miles de pesos
X*X
Y*Y
X*Y
1
20
380
400
144400
7600
2
25
430
625
184900
10750
3
30
500
900
250000
15000
4
35
580
1225
336400
20300
Total
110
1890
3150
915700
53650




Interpretación de los parámetros:

Representalos gastos de la empresa sin empleados (cero empleados) ($104.000)
Representa el incremento de los gastos fijos por cada empleado que se contrata ($13.400).

Luego la recta de regresión que mejor se ajusta a los datos es:


Predicción de un caso: ¿Cuál sería el gasto fijo de la empresa 4 si tuviese 32 empleados?

El gasto fijo al considerar 32 empleados seria de 532,800 pesos.

Covarianza yCorrelación

En el estudio de variables bidimensionales (X, Y), uno de los objetivos es determinar si existe asociación lineal entre ambas variables es decir si hay dependencia entre ellas.
Una medida estadística apropiada para este caso es la covarianza entre X e Y. Denotada por Cov(X, Y) la cual esta definida por:




El valor de la covarianza se interpretade la siguiente forma:

a) Si las variables X e Y son independientes entre sí, entonces la covarianza es cero. El inverso no siempre se cumple.
b) Si la covarianza es distinto de cero, entonces las variables X e Y son dependientes.
En este caso se tiene que:
i) Si Cov(X,Y) >0, entonces existe dependencia lineal directa entre X e Y, es decir el aumento o disminución de una de las variablesprovocará el mismo efecto en la otra variable.
ii) Si Cov(X, Y) < 0, entonces existe dependencia lineal inversa entre X e Y, es decir un aumento o disminución de una de las variables provocará un efecto contrario en la otra variable.

Para cuantificar el grado o magnitud de la asociación entre X e Y utilizamos el coeficiente de correlación lineal de Pearson denotado por:



Las características...