El Problema De Basilea

RESUMEN
UNA DEMOSTRACIÓN DEL PROBLEMA DE BASILEA
AUTOR: ALEJANDRO GARCÍA VENTURINI
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS – UBA
aegv@hotmail.com
Educación Matemática
Análisis Matemático. Series.Convergencia

En este trabajo se presenta una demostración del Problema de Basilea, en el cual se analiza la convergencia de una serie p.
Se presenta una introducción a la convergencia de seriesnuméricas, en particular los casos donde se puede determinar su suma.
Luego de plantear el caso de las series geométricas y las series telescópicas en los cuales se puede determinar la suma, se analizan lasllamadas series p. Se plantea el caso particular en el cual p=2, problema planteado por varios matemáticos en distintas épocas pero resuelto por Euler quien logró obtener la suma exacta.
El problemade Basilea consiste en determinar cuál es el valor exacto de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales, es decir, calcular la suma de la siguiente serie:[pic].
Aquípresentamos una posible demostración de este caso que se pude plantear en cursos de Análisis I ya que los recursos matemáticos que se utilizan responden al programa de dicha asignatura.
De esta manera sepuede dar un caso más de series convergentes donde se puede determinar su suma.

PROBLEMA DE BASILEA

Queremos demostrar que [pic]

Partimos del desarrollo en serie de la función sen x.[pic]

Pero los ceros de sen x son los múltiplos enteros de (, (0, ((, (2(, (3(, …). Expresamos la serie infinita como producto de factores lineales dados por los ceros, de la misma forma quehacemos con los polinomios finitos:

[pic]

Multiplicamos entre sí los dos factores asociados a π, los dos asociados a 2π, a 3π etc.:
[pic]
Dividimos y multiplicamos cada factor en el queinterviene (2 por -(2, -4(2, -9(2, etc.
[pic]
Si multiplicamos todas las constantes y la denominamos A queda:
[pic]
Dividiendo por x, tenemos

[pic]

Como [pic], [pic].
De esta...