El teorema fundamental de calculo
Una consecuenciadirecta de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función alser integrada.
Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una ideaoriginalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dadauna función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por . Si f es continua en , entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).
Demostración
LEMA.
Sea f integrable sobre [a,b]y
Entonces:
Demostración:
Por definición se tiene que .
Sea h>0. Entonces .
Se define mh y Mh como:
,
Aplicando el 'lema' se observa que:
.
Por lo tanto,
Sea h < 0. Sean:
,
.Aplicando el 'lema' se observa que:
.
Como:
,
Entonces:
.
Puesto que h < 0, se tiene que:
.
Y como f es continua en c se tiene que
,
y esto lleva a que:
.
Ejemplos:
Segundoteorema fundamental del cálculo
También se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow ó regla de Newton - Leibniz.
Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier funciónprimitiva de f, es decir g'(x)=f(x) para todo , entonces:
Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas.
Demostración:
Sea.
.
Tenemos por el primer teorema fundamental...
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