Teorema fundamental del calculo

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES O TEOREMA DE LA MEDIA
El teorema del valor medio fue probado por el famoso matemático Joseph Louis Lagrange. Nacido en Italia, Lagrange ocupó un cargo en lacorte de Federico el Grande en Berlín durante 20 años. A continuación se mudó a Francia, donde coincidió con el emperador Napoleón Bonaparte, a quien se atribuye haber dicho "Lagrange es la pirámidemás alta de las ciencias matemáticas".
Teorema del Valor Medio para integrales:
Si f es continua en [a,b], existe un número c en [a,b] tal que

Para comprender por qué es válida la fórmula del valormedio, dividamos el intervalo [a,b] en “n” sub-intervalos iguales de longitud
∆X  y  tomemos  Xj como el comienzo del sub-intervalo j-ésimo. La media numérica de los correspondientes “n” valores dela función f(X1), f(X2), f(X3), . . . , f(Xn ) es

Cuando “n “crece sin límite, esta media aritmética se aproxima con precisión al valor medio de f en el intervalo [a,b]. Es decir;

Para escribireste límite de una suma como una integral definida, obsérvese que si el intervalo [a,b] se divide en “n” sub-intervalos iguales de longitud ∆X entonces ∆X=(b-a)/n. Por consiguiente, 1/n=∆X/(b-a)y así

A partir de la caracterización de la integral definida como el límite de una suma, se concluye que

Interpretación geométrica del valor medio
La fórmula de la integral para el valor mediotiene una interesante interpretación geométrica.

Si f(x) es no negativa, la integral es igual al área situada bajo la gráfica de f desde x=a hasta x=b. El producto f(c) (b-a) es el área de unrectángulo cuya base es b-a y cuya altura es el valor medio de f en el intervalo [a,b]

Ejemplos
1. Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1].
Comola función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.

2. ¿Es aplicable el teorema del...