Elmentos Finitos

Cap´
ıtulo 5
Problemas de contorno: elementos finitos

5.1.

Introducci´n
o

Presentaremos el m´todo de los elementos finitos estudiando un problema
e
concreto,
−u + u = f

si a < x < b,

u(a) = u(b) = 0.

(5.1)

Nota. El problema con condiciones no homog´neas u(a) = α, u(b) = β se
e
reduce a ´ste mediante el cambio de inc´gnita u = u − u0 , siendo u0 cualquier
e
o
˜funci´n regular tal que u0 (a) = α, u0 (b) = β (tomar, por ejemplo, u0 af´ La
o
ın).
funci´n u es soluci´n del problema homog´neo, eso s´ con una nueva f .
o ˜
o
e
ı,
Definici´n 5.1. Sea f ∈ C([a, b]). Una soluci´n cl´sica del problema (5.1) es
o
o
a
una funci´n u ∈ C 2 ((a, b)) ∩ C([a, b]) que verifica (5.1) para todo x ∈ [a, b].
o

Gracias a los resultados conocidos para ecuacionesdiferenciales ordinarias
tenemos el siguiente teorema de existencia y unicidad.
Teorema 5.2. Dado f ∈ C([a, b]), existe una unica soluci´n cl´sica de (5.1).
´
o
a
101

¿C´mo calcular la soluci´n num´ricamente? En este caso, como la geometr´
o
o
e
ıa
del dominio es sencilla, podemos utilizar un m´todo de diferencias finitas. Por
e
ejemplo, si consideramos el conjunto de puntos
xn = a +nh,

n = 0, 1, 2 . . . , N = (b − a)/h,

y aproximamos la derivada segunda usando la f´rmula de diferencias centradas,
o
los valores un de las aproximaciones de la soluci´n en los nodos xn se obtienen
o
resolviendo el sistema
−

un+1 − 2un + un−1
+ un = f n
h2

si 0 < n < N,

u0 = uN = 0.

Los valores un se pueden interpolar para obtener una aproximaci´n de u(x)
o
en puntos xque no pertenezcan al conjunto {xn }. Si, por ejemplo, usamos

interpolaci´n lineal, entonces obtenemos como aproximaci´n
o
o
uh (x) =

N −1

un ϕn (x),

n=1

con


 x − xn−1 ,

 x −x
 n
n−1






xn+1 − x
ϕn (x) =
 xn+1 − xn ,








 0,

x ∈ [xn−1 , xn ],
x ∈ [xn , xn+1 ],

(5.2)

en el resto.

Veamos lo que hemos conseguidodesde una perspectiva distinta. Hemos
obtenido una aproximaci´n uh a la verdadera soluci´n dentro del espacio de
o
o
dimensi´n finita
o
Vh = {v ∈ C([a, b]) : v(a) = v(b) = 0, v

[xn−1 ,xn ]

∈ P1 ([xn−1 , xn ]), 1 ≤ n ≤ N }.

´
Este ser´ precisamente el punto de partida para el m´todo de elementos
a
e
finitos:
102

• Buscar una aproximaci´n uh a la soluci´n dentro de un espacio dedimeno
o

si´n finita.
o

¿C´mo hacerlo? Elegimos M funciones linealmente independientes que sao
tisfagan las condiciones de frontera, ϕl (a) = ϕl (b) = 0, l = 1, . . . , M y consideramos el espacio vectorial de dimensi´n finita generado por ellas,
o
Vh := L({ϕ1 , . . . , ϕM }).
Buscamos una aproximaci´n uh a u dentro de Vh ,
o
M

γl ϕl (x),

uh (x) =
l=1

a ≤ x ≤ b,

(5.3)donde γ1 , . . . , γM son constantes reales. N´tese que, dado que todos los eleo
mentos de Vh satisfacen las condiciones de frontera, uh tambi´n lo hace.
e
Elegiremos los n´meros γ1 , . . . , γM de manera que uh ∈ Vh aproxime a u
u

“lo mejor posible”. ¿Qu´ queremos decir con esto?
e

Para cualquier elecci´n de γ1 , . . . , γM consideramos el defecto o residuo
o
dh (x) := −uh (x) + uh(x) − f (x),

a < x < b.

Nota. Para que el defecto est´ bien definido necesitamos que uh ∈ C 2 ((a, b)).
e
Por tanto pedimos en principio que ϕl ∈ C 2 ((a, b)) ∩ C([a, b]), aunque m´s
a

adelante rebajaremos esta hip´tesis.
o

Si uh fuera la soluci´n de (5.1), el defecto ser´ id´nticamente cero. Por
o
ıa e
tanto, cuanto m´s pr´ximo est´ dm a la funci´n cero, mejor esperamos que seaa
o
e
o
nuestro candidato a soluci´n.
o
Dado un producto escalar en C([a, b]) (espacio que incluye al de las soluciones cl´sicas) se puede escribir C([a, b]) = Vh ⊕ Vh⊥ , lo que se traduce en
a

la descomposici´n u = uh + u⊥ , y la f´rmula para el defecto es simplemente
o
o
h

dh = (u⊥ ) − u⊥ . Como esperamos que Vh sea tan grande que contenga toh
h

das las funciones de...