Empres

AJUSTE DE CURVAS
Cálculo Numérico Ing. Frednides Guillén Guerra Maracay - Venezuela

Ajuste de Curvas
• Consiste en determinar los parámetros de un modelo y=f(x) que se ajuste mejor a los datos (x1,y1), ... , (xN,yN) que están sujetos a errores aleatorios producidos por incertidumbres en las mediciones, y por un deficiente control de las condiciones en el que se realiza un experimento.Ajuste de Curvas
• Cuando se consideran datos que están sujetos a errores aleatorios, se emplea:

EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Ajuste de Curvas
• A partir del método de los mínimos cuadrados se obtienen las Ecuaciones de Regresión y tienen varias aplicaciones: – Descripción y construcción de modelos – Predicción y estimación – Estimación de parámetros – Control

Recta de Regresiónde Mínimos Cuadrados
• Para comprender mejor este tema, se considera el siguiente ejemplo: A partir de un ensayo experimental se obtuvieron los siguientes pares de puntos, obtener la ecuación de la recta aproximada:
12

xk 0 1 2 3 4 5 6

yk 9 7 5 4 3 0 -1 y

10 8 6 4 2 0 -2 -4

-1 10

y=Ax+B

-2

-1

0

1

2

x

3

4

5

6

7

Recta de Regresión de MínimosCuadrados

• La recta de regresión consiste en el análisis de regresión simple del método de los mínimos cuadrados:
– Lo que se desea es encontrar una ecuación simple que aproxime lo mejor posible los puntos de estudio – La recta o cualquier otra función elegida para aproximar los datos es llamada modelo

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• La recta de regresión o recta óptima en mínimoscuadrados consiste en obtener los coeficientes de la ecuación de la recta:

y = f(x) = Ax + B
• Que minimiza el error cuadrático medio E2(f)
 1 E2 ( f ) =  N

∑

N

k=1

f ( xk ) − y k

2

  

1/ 2

(1)

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• El error medio cuadrático está dado por la siguiente ecuación: 1/ 2 N  1 2 E 2 ( f ) =  ∑ f ( xk ) − y k  (1)  N k=1 • El error medio cuadrático se suele usar cuando se considera la naturaleza aleatoria de los errores. Este se suele utilizar porque no es tan complejo de minimizar computacionalmente.

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Sea un conjunto de N puntos (xk , yk) donde k=1 hasta N, cuyas abscisas {xk} son todas distintas, la recta de regresión o recta óptima en mínimos cuadrados, es la recta deecuación y = f (x) = Ax+B que minimiza el error medio cuadrático E2(f). • El error medio cuadrático es mínimo si la siguiente expresión es mínima:
N ⋅ ( E2 ( f ) ) =
2

∑

N

k=1

f ( xk ) − y k

2

(2)

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Si sustituimos en la ecuación anterior la ecuación de la recta, entonces:
E ( A, B ) =

∑ ( Axk +
k= 1

N

B − yk )

2

(3)• El valor mínimo de la función E(A,B) se calcula igualando a cero sus derivadas parciales:
∂ E ( A, B ) = 0 ∂A ∂ E ( A, B ) = 0 ∂B

(4)

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Desarrollando el cálculo, tenemos:
∂ E ( A, B ) = ∂A ∂ E ( A, B ) = ∂B

∑

N

k= 1 N

2 2( Axk + B − yk )( xk ) = 2∑ ( Axk + Bxk − yk xk ) N k= 1

∑ 2( Ax
k= 1

k

+ B − yk ) = 2∑ ( Axk + B −yk )
k= 1 N N

N

• Luego:

∑ ( Ax
N k= 1 N k= 1

2 k

2 + Bxk − yk xk ) = A∑ ( xk ) + B ∑ ( xk ) − k=1 k= 1

∑ ( x y ) = 0,
k=1 k k

N

∑ ( Ax

k

+ B − yk ) = A∑ ( xk ) + N ⋅ B −
k=1

N

∑ (y ) = 0
k=1 k

N

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Despejando:
A∑ ( x ) + B ∑ ( xk ) =
N k= 1 2 k N k=1

∑ ( x y ), ∑ (y )
k=1 k k=1 N k k

N

A∑ ( xk ) + N⋅ B =
k= 1

N

(5)

• A este sistema de ecuaciones se le conoce como:

ECUACIONES NORMALES DE GAUSS

Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados
• Ejemplo: A partir de un ensayo experimental se obtuvieron los siguientes pares de puntos (-1, 10), (0,9), (1,7), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0), (6, -1). Obtener la ecuación de la recta aproximada. Primero se calculan los coeficientes de...