Encina

Matemática I

Robert Jara

CONTINUIDAD
CONTINUIDAD / DISCONTINUIDAD EN FORMA VISUAL
Continuidad
una función es continua si:
La gráfica puede dibujarse completamente sin tener que levantar el papel. En el punto donde es necesario levantar
el lápiz no hay continuidad
Podemos caminar sobre la gráfica sin tener que dar saltos. En el punto donde es necesario saltar no hay
continuidad.Discontinuidad
Una función es discontinua en un determinado punto si en dicho punto no existe gráfica (hay un hueco), o en dicho
punto la gráfica sufre un salto
Ejemplo 1.
Analicemos la continuidad de las gráficas anteriores en el punto x  a

Es continua. No hay salto. No
hay hueco

NO es continua. Hay salto

No es continua. Hay hueco

NO es continua. Hay salto

No es continua. Haysalto

NO es continua. Hay salto

Desventaja del método visual: Es necesario conocer la gráfica. Es decir, si no se conoce la gráfica de la función
no se puede analizar la continuidad.
CONTINUIDAD / DISCONTINUIDAD EN FORMA MATEMATICA

1

Matemática I

Robert Jara

Continuidad
Una función f ( x) es continua en x  a si cumple las tres condiciones siguientes:
a) f (a) debe estardefinido
b) lim f ( x) debe existir
x a
c) lim f ( x)  f (a)
x a

Discontinuidad
Una función f ( x) es discontinua en x  a si no cumple alguna de las tres condiciones anteriores
Ejemplo 2.
Analicemos ahora la continuidad de las funciones siguientes con criterio matemático en x  a :

a) f (a) =L
b)

lim f ( x)  L

c)

lim f ( x)  f (a)

x a

xa

ES CONTINUA

a) f (a) NOEXISTE
b)

lim f ( x)  L

c)

lim f ( x)  f (a)

x a

xa

NO ES CONTINUA

a) f (a) = f ( x 0 )
b)

lim f ( x)  L

c)

lim f ( x)  f (a)

x a

xa

NO ES CONTINUA

Ejemplo 3.
Analicemos la continuidad de las gráficas siguientes con criterio matemático:

2

Matemática I

Robert Jara

a) f ( a )  f ( x 0 )

a) f ( a )  L2

a) f ( a )  L2

b)b)

lim f ( x)  L1

c)

lim f ( x)  f (a)

lim f ( x) NO EXISTE

b)

lim f ( x)  

c)

lim f ( x)  f (a)

c)

lim f ( x)  f (a)

xa

x a

NO ES CONTINUA

x a

x a

NO ES CONTINUA

xa

x a

NO ES CONTINUA

Ejemplos algebraicos:

x2  4
1. Sea f ( x) 
, ¿es continua en x = 2?
x2
Solución
a) f (2) NO EXISTE

x2  4
( x  2)( x  2)
lim
 lim( x  2)  2  2  4
b) lim f ( x)  lim
x2
x2 x  2
x2
x2
x2
c) lim f ( x)  f (1)
x 1

La función NO ES CONTINUA

 x2  4
si x  2

2. Sea f ( x) =  x  2

4 si x  2

Solución

, ¿es continua en x = 2?

a) f (2)  4

x2  4
( x  2)( x  2)
 lim
 lim( x  2)  2  2  4
x2
x2 x  2
x2
x2
x2
c) lim f ( x)  f (2)
b) lim f ( x)  limx 2

La función ES CONTINUA
3. Sea

 5x  1 s i x  1
, ¿es continua en x = 1?
f ( x) = 
 x  3 si x > 1

Solución

a) f (1)  5(1)  1  4

3

Matemática I

Robert Jara

f ( x)  lim (5x  1)  5(1)  1  4

b) lim

x 1

x 1

lim f ( x)  lim ( x  3)  1  3  4

x1

x1

Por lo tanto
c) lim
x 1

lim f ( x)  4
x 1

f ( x)  f (1)

Lafunción ES CONTINUA

 x  1 si x  2

4. Sea f ( x) = 
, ¿es continua en x = 2?
x

si x > 2
2
Solución

f (2)  2  1  1
b) lim f ( x)  lim ( x  1)  (2  1)  1
a)

x 2

x 2

lim f ( x)  lim

x 2

x 2

Por lo tanto

x2
 1
22

lim f ( x)  1

x 2

f ( x)  f (2)

c) lim
x 2

La función ES CONTINUA

5. Sea

 1  x si x  1
f ( x) = , ¿es continua en x = 1?
 x 2 si x > 1

Solución

f (1)  1  1  0
b) lim f ( x)  lim (1  x)  (1  1)  0

a)

x 1

x2

lim f ( x)  lim x 2  (1) 2  1

x 1

x 1

Por lo tanto
c) lim
x 1

lim f ( x) NO EXISTE

x 2

f ( x)  f (1)

La función NO ES CONTINUA
CONTINUIDAD LATERAL.
Si

lim f ( x)  f (a) entonces la función f ( x) es CONTINUA POR LA...