Ensayo Psu

PREUJOVEN

Matemáticas

02

Potenciación.
Al término de esta lección podrás:
• • • • • Reconocer y aplicar las propiedades de las operaciones con potencias de base real y exponente entero o racional. Efectuar operaciones con raíces, aplicando sus propiedades. Racionalizar el denominador de una fracción. Denotar una raíz mediante la forma típica. Reconocer y aplicar las propiedadesrelativas a los logaritmos.

Video

Definición de Logaritmos: http://www.youtube.com/watch?v=Q786-SHpAc4 http://www.youtube.com/watch?v=8-62rctECnA

Introducción
Así como la multiplicación es una suma abreviada, las potencias son multiplicaciones abreviadas. A pesar de que en la igualdad:

a =c
b
La notación para encontrar tanto c como a fue ampliamente utilizada desde los griegos (utilizandopotencias y raíces, respectivamente), la notación utilizada para encontrar b (los logaritmos) no fueron introducidos hasta 1614, por John Napier en el libro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Esta notación facilitó su aplicación en múltiples ramas de la matemática aplicada, tales como la astronomía y la navegación. Posteriormente, las notaciones anteriores fueron de granutilidad para cálculos computacionales.

1. Potencias.
Se define la n-sima potencia de a o de otra forma, a elevado a n de la siguiente forma.

an = a ⋅ a ⋅ a…⋅ a
n veces

Así, al valor a se le denomina base, y al valor n exponente. Las propiedades más importantes de las potencias, considerando a, b ∈ ℝ {0} ; m, n ∈ ℤ son:

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1) 2) 3)

a0 = 1 a1 =a

4) a 5)

( )

a m ⋅ a n = a m+ n
n m

= a n ⋅ m = a m⋅ n = ( a m )

n

a−n =
n

1 an

6) ( a ⋅ b ) = a n ⋅ b n

am a = m 7)   b b m a m−n 8) n = a a

m

2. Raíces.
Las raíces son casos más generales de las potencias, ya que corresponden a una potencia, pero de índice racional. Decimos que la raíz n-sima de a es b si y sólo si la n-sima potencia de b es b. Esto serepresenta de la forma:

n

a = b ⇔ bn = a

Cuando la raíz tiene índice 2, no se coloca.

Al valor n se le denomina el índice de la raíz, mientras que a a se denomina la cantidad subradical. Las propiedades más importantes, considerando a, b ∈ ℝ {0} y m, n ∈ ℤ se enuncian a continuación:
n

1) 2) 3) 4) 5)

a =a
m

m n

n

a ⋅ n b = n ab

n m

a = n ⋅m a

n

a na = b nba ⋅ n b = n an ⋅ b
2

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Es importante entender un error frecuente que se comente con las potencias y raíces. La suma de dos raíces o potencias no es igual a la potencia o raíz de la suma de sus bases o cantidad sub-radical, respectivamente. Esto quiere decir que:
n

( a + b) ≠ n a + n b 2 ( a + b ) ≠ a2 + b2

Raíces negativas: Existen operacionespara las que el conjunto de los reales no tiene solución, la raíces de índice par con un sub-radical negativo. No existe base en los reales tal que al potenciarla con un exponente par de un número negativo como resultado. No existe un a ∈ ℝ tal que a 2n = b , donde n es un entero positivo y b es un real negativo.

−b no tiene solución en los reales. El conjunto de números que son solución aestos problemas se denominan complejos ( ℂ ) .
Por ende,

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Simplifique las siguientes raíces y/o potencias a su mínima expresión:
Ejercicios

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2.1 Forma Típica.
Se dice que una raiz esta en su forma tipica, cuando la cantidd subradical esta reducida al maximo. Algunos ejemplos se muestran a continuacion:Ejemplo: Reducir al máximo posible las siguientes expresiones:
3

80 ,

2 + 32 + 5 8 y

128 + 5 18 − 5 98 − 2 16
3

Solución:

80 = 16 ⋅ 5 = 4⋅ 5

2 + 32 + 5 8 = 2 + 4 2 + 2 2 =7 2
3

128 + 5 18 − 5 98 − 2 3 16 = 4 3 2 + 15 2 − 35 2 − 4 3 2 = −20 2

Calcular y/o reducir las expresiones a través de la forma típica:
Ejercicios

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