Ensayo

1.- Ecuaciones Diferenciales lineales de 2º orden con coeficiente constantes.
1.1.- Homogéneas.
Responden a la forma: donde, y el segundo miembro es nulo.
 
1.2.- No homogéneas.
Responden a la forma: donde, y el segundo miembro no es nulo.
 
2.- Teoremas: Ecuaciones Diferenciales lineales de 2º orden con coeficiente constantes y homogéneas.
2.1.- Teorema 1: Si tiene como solución a y1(x),entonces C. y1(x) también es solución de la ecuación diferencial.
H] (1) es una ecuación diferencial lineal de 2º orden, con coeficientes constantes y homogéneos.
y1(x) es solución de la ecuación diferencial anterior.
T] y = C. y1(x) es solución de la ecuación diferencial anterior.
D]

Reemplazando en (1):
C es factor común del primer miembro de la expresión anterior, por lo tanto:Pero el término entre corchetes del primer miembro es cero ya que es solución de la ecuación diferencial (1).
Entonces es solución de la ecuación diferencial (1).
2.2.- Teorema 2: Si admite dos soluciones y1(x), y2(x) entonces la combinación lineal de ambas también es solución de la ecuación diferencial.
H] (2) es una ecuación diferencial lineal de 2º orden, con coeficientes constantes yhomogénea.
y1(x) es solución de la ecuación diferencial anterior.
y2(x) es solución de la ecuación diferencial anterior.
T] y = C1. y1(x) + C2. y2(x) es solución de la ecuación diferencial anterior.
D]

Reemplazando en (2):

Factoreando por grupos el primer miembro:

Pero el primer término entre corchetes del primer miembro es cero ya que es solución de la ecuación diferencial y el segundotérmino entre corchetes del primer miembro es cero ya que es solución de la ecuación diferencial.
Entonces es solución de la ecuación diferencial (2).
2.3.- Teorema 3: Si admite dos soluciones y1(x), y2(x) para las que su Wronskiano es distinto de cero, entonces la combinación lineal de ambas también es solución general de la ecuación diferencial.
H] (3) es una ecuación diferencial lineal de 2ºorden, con coeficientes constantes y homogénea.
y1(x) es solución de la ecuación diferencial anterior.
y2(x) es solución de la ecuación diferencial anterior.

T] y = C1. y1(x) + C2. y2(x) es solución general de la ecuación diferencial anterior.

Por el Teorema 2 podemos decir que la combinación lineal y = C1. y1(x) + C2. y2(x) es solución de la ecuación diferencial, lo que falta demostrar es quese trata de la solución general.
Para hacerlo debemos demostrar que C1 y C2 quedan unívocamente determinados cuando se prefija un punto y un valor para la pendiente en ese punto.

Formamos el sistema:

Este sistema de incógnitas C1 y C2 tendrá solución única cuando el determinante formado por los coeficientes de las incógnitas sea distinto de cero.
= = por hipótesis.
Luego C1 y C2 quedanunívocamente determinadas, pudiendo garantizar que es la solución general de (3).
3.- Resolución de Ecuaciones Diferenciales lineales de 2º orden con coeficiente constantes y homogéneas.
Sabemos que estas ecuaciones diferenciales responden a la forma: (4) donde, y el segundo miembro es nulo.
Vamos a probar si con es solución de la ecuación diferencial anterior.

(5)
Debemos demostrar que laexpresión anterior da cero o en su defecto, si aceptamos que da cero, debemos determinar qué condiciones debe cumplir r para que la expresión se anule.

Donde recibe el nombre de ecuación característica y es la que para ciertos valores de r anula la ecuación (5).
La ecuación característica es una ecuación de segundo grado y de acuerdo al valor de su discriminante podremos tener las siguientestres soluciones para sus raíces:
I] r1 y r2 raíces reales y distintas, por lo tanto:

II] r1 y r2 raíces reales e iguales, por lo tanto:
III] r1 y r2 raíces complejas conjugadas, por lo tanto:

Estudiemos cada uno de estos casos:
I] r1 y r2 raíces reales y distintas, por lo tanto:

Por el teorema 2: es solución de la ecuación diferencial (4).
= ya que
Por lo tanto es la solución...