ensayo

Triángulo rectángulo

En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90-grados.1 Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios.2

  


Untriángulo rectángulo y sus elementos.
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto. Si la medida de los lados son números enteros, estos reciben el nombre de terna pitagórica.
Tipos de triángulo rectángulo[editar · editar código]
Existen dos tipos de triángulo rectángulo:
Triángulorectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide  veces la longitud del cateto.
Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble delcateto menor, y el cateto mayor  veces la longitud del cateto menor.

Triángulo rectángulo isósceles.
 

Triángulo rectángulo escaleno.
Relaciones métricas
Artículo principal: Relaciones métricas en el triángulo.
Las relaciones métricas del triángulo rectángulo son cuatro. Los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa son rectángulos y semejantes.


Ilustraciónde los principales elementos del triángulo rectángulo:
a es la hipotenusa,
b el cateto mayor,
c el cateto menor,
h la altura relativa a la hipotenusa,
m la proyección del cateto b y
n la proyección del cateto c.
La hipotenusa es igual a la suma de las proyecciones.

Por semejanza de triángulos, tenemos que:
El cuadrado de la altura relativa de los catetos.

El cuadrado de un cateto,es igual al producto entre su proyección (que se encuentra de su lado) y la hipotenusa.


El producto entre la hipotenusa y la altura relativa a ella, es igual al producto de los catetos.

Teorema de Pitágoras
Artículo principal: Teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras establece que:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de loscatetos.

Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.




Teorema de la altura[editar · editar código]
El teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:
Teorema de la altura (forma 1)
En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es lamedia geométrica entrelas proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.
Demostración
La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que



Figura 1: Teorema de la altura.
Multiplicando los dos miembros de la igualdad por  se tiene:

por lo que
(1)
Otra forma del mismo teorema[editar · editar código]
La altura h correspondiente a lahipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación (1) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.
   ;    
(h2)
lo que al simplificar en el último término de la ecuación (h2) la raíz con los cuadrados nos conduce a:
(h3)
Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c loscatetos y a la hipotenusa.
La ecuación (h3) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema:
Teorema de la altura (forma 2)
En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.
Teorema del cateto[editar · editar código]
El teorema del cateto establece lo siguiente
Teorema del cateto
En todo...