Ensayo

Pruebas de Hipótesis en Regresión Lineal Múltiple
En cualquier análisis de regresión no basta hacer los cálculos que se explicaron antes, sino que es necesario evaluar qué tan bien el modelo (la línea recta) explica la relación entre X y Y. Una primera forma de hacer esto es probar una serie hipótesis sobre el modelo.
Por lo general, la hipótesis de mayor interés plantea que la pendiente essignificativamente diferente de cero. Esto se logra al aprobar la siguiente hipótesis

El estadístico de prueba es:


Si la hipótesis nula es verdadera él estadístico de prueba tiene una distribución
- Student  con n - 2 grados de libertad. Se rechaza si el valor absoluto de este estadístico es mayor que el correspondiente valor crítico obtenido de tablas, es decir, se rechaza .

A menudoel experimentador desea probar hipótesis que se refieren a los parámetros del modelo de regresión lineal múltiple. Esto requiere la suposición adicional de que los errores sean NID (0,σ2). Una consecuencia directa de esta suposición es que las observaciones yj son:

Consideremos probar si la regresión es significativa. En la regresión lineal múltiple esto se logra probando las hipótesis:                                Al menos una i               
El rechazo de H0 en esta ecuación implica que al menos una variable en el modelo contribuye significativamente al ajuste. El procedimiento para probar la Ecuación 1-55 es una generalización del procedimiento usado para probar la regresión lineal simple. La suma total de cuadrados Syyse descompone en la suma de cuadrados de regresión y en lasuma de cuadrados del error:


Y si H0:βi = 0 es verdadera, ~ , en donde el número de grados de libertad para χ2 es igual al número de variables de regresión en el modelo. También se puede mostrar que ~  y que SSE y SSR son independientes. Por lo tanto el procedimiento para probarH0:βi = 0 consiste en calcular:
                               

Fórmula para calcular la suma de cuadrados deSSR

 
                                 
    






Análisis de variancia para la significancia de la regresión lineal múltiple

Fuente de Variación
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad
Media de Cuadrados
F0
Regresión
SSR
k
MSR
MSR/MSE
Error o residuo
SSE
n – k – 1
MSE
 
Total
Syy
n – 1
 
 
Así, puesto que Syy = SSE + SSR, se observa que la suma de cuadrados deregresión es:
                                                                 
 El modelo ajustado es considerando los datos  ŷ = 30.866667 + 0.877203(x1 – 18) + 0.455918(x2 – 28). A partir de X´y se observa que S1y = 345 y que S2y = 63. La suma total de cuadrados es:



La suma de cuadrados de regresión es:

Con frecuencia es importante probar hipótesis con respecto a los coeficientes deregresión individuales. Tales pruebas son útiles para valorar cada variable de regresión en el modelo. Por ejemplo, el modelo puede ser más efectivo si se le introducen variables adicionales o, quizá, si se desecha una o más variables que se encuentran en el mismo.
Introducir variables al modelo de regresión siempre provoca que la suma de cuadrados de regresión aumente y que la del error disminuya.Debemos decidir si el incremento en la suma de cuadrados de regresión es suficiente para garantizar el uso de la variable adicional en el modelo. Además si se agrega una variable poco importante al modelo, puede incluso aumentar la media de cuadrados del error disminuyendo así la utilidad del modelo.
El estimador de mínimos cuadrados  es una variable aleatoria. Además, la distribución de:
 ~ Mediante un modelo de regresión lineal múltiple (MRLM) tratamos de explicar el comportamiento de una determinada variable que denominaremos variable a explicar, variable endógena o variable dependiente, (y representaremos con la letra Y) en función de un conjunto de k variables explicativas X1, X2, ..., Xk mediante una relación de dependencia lineal (suponiendo X1 = 1):

Y = β1 + β2 ⋅X2...