ensayos

MARGARITA MATHEMATICA EN MEMORIA DE
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JOSE JAVIER (CHICHO) GUADALUPE HERNANDEZ
(Luis Espa˜ ol y Juan L. Varona, editores),
n
Servicio de Publicaciones, Universidad de La Rioja,
Logro˜ o, Spain, 2001.
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EL METODO DE HALLEY: POSIBLEMENTE, EL METODO MAS
REDESCUBIERTO DEL MUNDO
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JOSE A. EZQUERRO, JOSE M. GUTIERREZ,
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MIGUEL A. HERNANDEZ Y M. AMPARO SALANOVA
Anuestro amigo y compa˜ero Chicho
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Abstract. Halley’s method is a third order iterative method to solve nonlinear
equations. Many authors have deduced it independtly. Here we try to justify,
by showing different constructions, why it is said that Halley’s method is the
most “rediscovered” method in the mathematical literature.

Si tuvi´ramos que hacer una clasificaci´n con los m´s famosos m´todositerativos
e
o
a
e
para resolver ecuaciones, no hay duda alguna de que el m´todo de Newton ocupar´
e
ıa
el primer lugar. Seg´n la opini´n de varios autores y, teniendo en cuenta el n´mero
u
o
u
de publicaciones relacionadas con ´l, el m´todo de Halley ocupar´ el segundo puesto
e
e
ıa
en esta ficticia clasificaci´n. As´ por ejemplo, Traub, en su cl´sica monograf´ [19,
o
ı,
a
ıap´g. 91], dice: ✭✭El m´todo de Halley puede compartir con el m´todo de la secante
a
e
e
la distinci´n de ser el m´todo m´s frecuentemente redescubierto en la literatura✮✮.
o
e
a
Confirmando este hecho, Scavo y Thoo [17] presentan un excelente art´
ıculo en el que
se cuenta la historia del m´todo, respaldada por numerosas referencias bibliogr´ficas.
e
a
Es costumbre extendida entre losinvestigadores el bautizar sus descubrimientos
con su propio nombre o con el de un personaje relevante en la materia. La resoluci´n
o
num´rica de ecuaciones no lineales no escapa a esta costumbre. En este caso, dos de
e
los m´todos m´s conocidos, los m´todos de Newton y Halley, reciben sus nombres de
e
a
e
dos eminentes cient´
ıficos brit´nicos de finales del siglo XVII y comienzos del XVIII:a
Sir Isaac Newton y Edmund Halley. Pero, ¿hasta qu´ punto conoc´ estos autores
e
ıan
los m´todos cuya ✭✭paternidad✮✮ se les atribuye?
e
Por lo que respecta al m´todo de Newton, parece ser que la idea que pudo tener Sir
e
Isaac dista bastante de lo que conocemos hoy en d´ As´ en una carta a sus colegas
ıa. ı,
Barrow y Collins en 1669, Newton mostraba un ejemplo para resolver num´ricaemente una ecuaci´n. Newton ilustraba su t´cnica con el ejemplo x3 − 2x − 5 = 0
o
e
y argumentaba de la siguiente manera: Por tanteo, se ve que la soluci´n est´ cerca
o
a
de 2. Haciendo x = 2 + ε y sustituyendo en la ecuaci´n se obtiene:
o
(1)

ε3 + 6ε2 + 10ε − 1 = 0.

2000 Mathematics Subject Classification. 65–02.
Key words and phrases. Nonlinear equations, Halley’s method, thirdorder methods.
Este trabajo ha sido subvencionado por una ayuda de la DGES (ref. PB98-0198) y otra de la
Universidad de La Rioja (ref. API-00/B16).
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J. A. EZQUERRO, J. M. GUTIERREZ, M. A. HERNANDEZ Y M. A. SALANOVA

Ignorando los t´rminos ε3 + 6ε2 con el pretexto de que ε es peque˜ o, se llega a que
e
n
10ε − 1 = 0 o ε = 0,1. Entonces x = 2,1 es una aproximaci´n de lasoluci´n mejor
´
o
o
que la inicial.
Haciendo ahora ε = 0,1 + ν y sustituyendo en (1) se sigue que
ν 3 + 6,3ν 2 + 11,23ν + 0,061 = 0.
Ignorando de nuevo los t´rminos en ν de grado mayor o igual que dos, se llega a que
e
ν = −0,0054 y, por tanto, x = 2,0946 es una aproximaci´n que mejora las anteriores.
o
Newton indicaba que el proceso se puede repetir las veces que sean necesarias.
Comovemos, la idea de Newton consiste en a˜ adir un t´rmino corrector a una
n
e
aproximaci´n inicial dada. Para obtener esta aproximaci´n, lo que hace es truncar
o
o
el binomio de Newton en el segundo t´rmino en expresiones del tipo
e
(a + ε)n

an + nan−1 ε.

De esta manera, para obtener el valor aproximado de ε simplemente hay que resolver
una ecuaci´n lineal.
o
Escribiendo el problema...