eres todo

&.

ECUACIONES DIFERENCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
4.1

4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9

Teoría preliminar: ecuaciones lineales
4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera
4.1.2 Ecuaciones homogéneas
4.1.3 Ecuaciones no homogéneas
Reducción de orden
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
Coeficientes indeterminados, método de la superposiciónCoeficientes indeterminados, método del anulador
Variación de parámetros
Ecuación de Cauchy-Euler
Sistemas de ecuaciones lineales
Ecuaciones no lineales
Ejercicios de repaso

Ahora pasaremos a resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor. En
las siete primeras secciones del capítulo examinaremos algo de la teoría y métodos
para resolver ciertos tipos de ecuaciones lineales.En la sección 4.8 presentamos el
método de eliminación, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
lineales, porque es un método básico, que simplemente desacopla un sistema para
llegar a ecuaciones lineales individuales, de orden superior, en cada variable dependiente. El capítulo termina con un breve estudio de ecuaciones no lineales de orden
superior.

112

Sxción 4.1Teoría preliminar: ecuaciones heales

TEORíA

113

PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES

n
n
n

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior n Problema de valores iniciales
Existencia y unicidad n Problema de valores en lafiontera
Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas n Operador diferencial lineal
H Dependencia Zineal n Independencia lineal H Wronskiano nConjuntofundamental de soluciones
H Principios de superposición n Solución general n Función complementaria n Solución particular

4.1.1

Problemas de valor inicial y de valor en la frontera

Problema de valores iniciales En la sección 1.2 definimos qué es un problema de
valores iniciales para una ecuación diferencial general de orden n. Para una ecuación diferencial
lineal, un problema de valoresiniciales de orden n es

Sujeta

f.7:

y(n) = yo,

y’(x0) = yl, . . .,

y(“-‘)XO = y,-1.

(1)

Recuérdese que, para un problema como éste, se busca una función definida en algún intervalo
I que contenga a XO, y satisfaga la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales especifiYa vimos que en el caso de un problema
cadasenxo:y(xo)=yo,y’(xo)=yl,. . .,y(*-‘)(xg)=y,-1.
devalores iniciales de segundo orden, una curva de solución debe pasar por el punto (~0, yo) y
tener ia pendiente y1 en ese punto.

Existencia y unicidad En la sección 1.2 enunciamos un teorema que especifica las
condiciones para garantizar la existencia y unicidad de una solución de un problema de valores
iniciales de primer orden. El teorema siguiente describe las condiciones suficientes deexistencia de solución única para el problema representado por las ecuaciones (1).

sean a,(x), ua-1 (Tc), . . ., q(x), a&) y g(x) contìmutg edlm int%rvaio r, p
toda x del intervalo. Si x = xo es cualquier pu& en el iWerv8& @xis& @%I SJ
intervalo y(x) del problema de valores i&i&ea representa& por &z!+ ~i#

única.
Solución única de un problema de valores iniciales

El problema de valoresiniciales
3y’” + 5y” - y’ + 7y = 0,

y(l) = 0, y’(l) = 0, y”(l)
= 0
I

tiene la solución trivial y = 0. Como la ecuación de tercer orden es lineal con coeficientes
constantes, se satisfacen todas las condiciones del teorema 4.1; en consecuencia, y = 0 es la
única solución en cualquier intervalo que contenga x = 1.

n

114

CAPíTULO

4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

mSolución única de un problema de valores iniciales

El lector debe comprobar que la función y = 3e& + e-b - 3x es una solución del problema
de valores iniciales
y”- 4y = 12x,

y(O) = 4, y’(O) = 1.

La ecuación diferencial es lineal, los coeficientes y g(x) son continuos y q(x) = 1 f 0 en
todo intervalo Z que contenga a x = 0. Según el teorema 4.1, debemos concluir que la función
n
dada...