ESCUELA T CNICA SUPERIOR DE N UTICA Y M QUINAS NAVALES

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA
NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS 
 
11.  GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R3  
I.  Generalidades sobre Geometría analítica en R3 -  II. Ecuaciones en R2 -  III. Ecuaciones en R3  
  11.1  Introducción.
   En este tema vamos a considerar vectores en el espacio. Un vector  une dos puntos delespacio. Por ejemplo si  une los dos puntos A y B, entonces tiene su termino en el  A(1,1,1) y su punta de flecha en B(2,4,6). En este caso las coordenadas o componentes de  son (1,3,5) - se han restado las coordenadas de B menos las de A-.
   El asunto es que un vector tiene cierta dirección, sentido y módulo, pero dos vectores con las mismas dirección, sentido y módulo se consideran iguales. Porlo tanto, un vector puede colocarse en cualquier lugar de su línea de aplicación, o incluso puede desplazarse paralelamente a su eje sin que el vector varíe. De cualquier forma, si representamos un vector en un sistema de ejes cartesianos OXYZ, intentaremos dibujarlo siempre con su terminación en el orígen de coordenadas O(0,0,0).
   Dado un vector   en el espacio euclídeo,  así dibujado quedanclaras cuáles son sus coordenadas:

   *   Producto escalar de dos vectores
  Dados dos vectores  utilizaremos el producto escalar:

llamado "producto escalar canónico".

   *  Norma o módulo de un vector.
  Dado un vector   en el espacio euclídeo se llama norma (o módulo) de  a:

   (geométricamente la norma o módulo es la longitud del vector)

   *  Ángulo entre dos vectores.
  Dados dosvectores   el ángulo   entre ellos es:

   Conocido este ángulo y los módulos también podemos expresar el producto escalar de dos vectores:

  - En el caso de dos vectores ortogonales (perpendiculares entre sí), , tenemos que su producto escalar es nulo:

  *   Base canónica
  Consideraremos la base canónica formada por los vectores i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1).  Estos tres vectores son linealmenteindependientes y además son mutuamente ortogonales.

i, j, k forman la base canónica
  Dado un vector   en el espacio,  se tiene:

 son los llamados cosenos directores del vector . Geométricamente representan a los cosenos de los ángulos que el vector  forma respectivamente con el eje OX, con el eje OY y con el eje OZ.
  Como la norma de un vector coincide con su módulo (su longitud euclídea) apartir de ahora emplearemos la notación  en lugar de .
 
  *   Producto vectorial de dos vectores.
  Dados dos vectores  , el producto vectorial de estos dos vectores es otro vector -que expresaremos como - perpendicular al plano definido por , y cuyo sentido lo da la regla del "avance del tornillo" (girando de  hacia ) .
 Su expresión general viene dada por:

cuyo módulo es:

siendo  el ánguloformado por los vectores u, v. Geométricamente el valor de este módulo es el valor del área del paralelogramo formado por los vectores u, v.
  PROPIEDADES:
     
*   Producto mixto de tres vectores.
  Dados tres vectores    ,  ,  llamamos producto mixto, lo cual se expresa  ,  al producto escalar de  por :
  Por lo tanto,  viene expresado por:


 Geométricamente representa el volumen del paralelepípedoformado por los tres vectores   ,  .

PROPIEDADES:
1. Si alguno de los tres vectores es el vector nulo, el producto mixto es 0.
2. Si los tres vectores son linealmente dependientes (coplanarios), el producto mixto es 0.
3.
 
  11.2  La recta en R3 . Ecuación vectorial.
 Una recta r viene determinada bien por dos puntos A, B, o bien por un punto A y su dirección (que viene expresada en forma deun vector director  que es paralelo a r - o en otras palabras- nos indica la dirección de r)

  Si P es un punto genérico de la recta r (ver figura 2) se tiene que:

siendo  un cierto parámetro,  y si ahora (fijándonos en la figura 1) tenemos en cuenta que:

se tiene:  
   {1}
y si consideramos al segmento  como el vector  (para ello se opera así: coordenadas de B menos coordenadas de A)...