ESHC1

Examen Opcional
´
Calculo
I

Universidad
Industrial de
Santander

Grupo

Septiembre 6 de 2010
Facultad de Ciencias
´
Escuela de Matematicas

´
Codigo:

Nombre:
Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.
´
Resuelva un punto en cada pagina
de su hoja de examen.
´
´
No se permite el prestamo
de borradores, calculadoras, lapices,
etc.
´ es lacomprension
´ de los enunciados.
El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion
Todos los puntos tienen el mismo valor.
´
No se permite el uso de telefonos
celulares durante el examen.

1. Evalue
´ los siguientes l´ımites, si existen.
1
1
a) l´ım √
−
.
t→0
t 1+t t
2.

b) l´ım

x→∞

√

9x2 + x − 3x .

t2 − 4
.
t→2 t3 − 8

c) l´ım

´ y = cos sen (tan πx).
a) Halle la derivada dela funcion
´ f (x) = ln (x2 − 2x) y encuentre su dominio.
b) Derive la funcion
´ y 2 = x3 + 3x2 se llama cubica
c) La curva con ecuacion
´
de Tschirnhausen. Encuentre una
´ de la recta tangente a esta curva, en el punto (1, −2). ¿En cuales
´
ecuacion
puntos esta
curva tiene una tangente horizontal?

3. Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un
´
´cuadrado y la otra para formar un c´ırculo. Como
debe cortarse el alambre de modo que el area
´
total encerrada sea (a) maxima,
y (b) m´ınima.
´
4. En la figura se ilustra la grafica
de la
´ f.
derivada f ′ de una funcion
a) ¿En que´ intervalos f es creciente o
decreciente?
´ f
b) ¿Para que´ valores de x la funcion
´
tiene un maximo
local o un m´ınimo
local?
´
c) Trace la grafica
de f ′′ .
´
d) Tracela grafica
posible de f .

˜
Profesores: Adriana Albarrac´ın, Alberto Higuera, Claudia Montanez,
Daniel Moreno, Duwamg Prada, German Jaimes, Gilberto Arenas,
´
Hilda Duarte, Javier Camargo, Jorge Fiallo, Jorge Noriega, Luis Ortiz, Marco T. Mart´ınez, Nelson Lopez,
Rosana Mart´ınez, Rosario Iglesias, William
´
Gonzalez.

´ del examen opcional
Solucion
1.
√
√
√
1
1− 1+t 1+ 1+t
1 − (1 + t)
1
1− 1+t
√√
a) l´ım √
−
= l´ım √
·
= l´ım √
=
= l´ım √
t→0 t 1 + t
t→0 t 1 + t
t→0 t 1 + t
t
1 + 1 + t t→0 t 1 + t 1 + 1 + t
−t
−1
−1
1
√
√
√
= l´ım √
= l´ım √
=√
=− .
t→0
t→0 t 1 + t 1 + 1 + t
2
1+t 1+ 1+t
1+0 1+ 1+0
´ se puede por L’Hopital. (Cumple las condiciones)
Tambien
√
− 2√11+t
− 2√11+0
− 12
1
1
1− 1+t
1
√
l´ım √
= l´ım √
=
=
=− .
−
= l´ım √
t
0
√
√
t→0 t 1 + t
t→0 t 1 + t
t→0
t
1
+
0
2
1 + t + 21+t
1 + 0 + 2 1+0
√
√
√
9x2 + x − 9x2
9x2 + x + 3x
2
2
= l´ım √
b) l´ım
9x + x − 3x = l´ım
9x + x − 3x · √
x→∞
x→∞
9x2 + x + 3x x→∞ 9x2 + x + 3x
x
1
1
1
x
= l´ım
= l´ım
=
= .
2
x→∞
x→∞
3+3
6
9x
9+ 1 +3
+ x + 3x
x2

x2

x

x

t2

−4
(t − 2) (t + 2)
(t + 2)
2+2
1
= l´ım
= l´ım 2
= 2
= .
2
− 8 t→2 (t − 2) (t + 2t + 4) t→2 (t + 2t + 4)
(2 + 2 · 2 + 4)
3
´ se puede por L’Hopital. (Cumple las condiciones)Tambien
t2 − 4
2t
2
2
1
l´ım 3
= l´ım 2 = l´ım
=
= .
t→2 t − 8
t→2 3t
t→2 3t
3·2
3

c) l´ım

t→2 t3

2.
´ y = cos
a) Halle la derivada de la funcion
y′

= − sin

sin (tan πx)

1
2

sin (tan πx).

(sin (tan πx))−1/2 (cos (tan πx)) sec2 πx (π) .

´ f (x) = ln x2 − 2x y encuentre su dominio.
b) Derive la funcion
(2x − 2)
2 (x − 1)
f ′ (x) = 2
=
;
Dom {f ′ } = R − {0, 2};
Dom {f } = R − [0, 2] .
x −2x
x (x − 2)

´ y 2 = x3 + 3x2 se llama cubica
´
c) La curva con ecuacion
´
de Tschirnhausen. Encuentre una ecuacion
´
de la recta tangente a esta curva, en el punto (1, −2). ¿En cuales
puntos esta curva tiene una
tangente horizontal?
Observe que el punto si pertenece a la curva, ya que (−2)2 = (1)3 + 3 (1)2 . Ahora
dy
dy
3x2 + 6x
dy
3 (1)2 + 6 (1)
9
2
´ de
2y ·
= 3x + 6x =⇒
=
=⇒
=
= − , luego laecuacion
dx
dx
2y
dx (1,−2)
2 (−2)
4
9
la recta tangente es y + 2 = − (x − 1).
4
dy
3x2 + 6x
Por otra parte, la curva tiene tangentes horizontales si
=
= 0 y esto sucede si 3x2 +
dx
2y
6x = 0 =⇒ 3x (x + 2) = 0 =⇒ x = 0 ∨ x = −2 =⇒ y 2 = 03 + 3 · 02 = 0 ∨ y 2 = (−2)3 + 3 (−2)2 = 4,
luego los punto son P1 (0, 0), P2 (−2, 2) y P3 (−2, −2).

3. Llamemos x la longitud del pedazo con el que se...