espacio vectorial normado

Espacio vectorial normado
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación, búsqueda
En matemática un espacio vectorial se dice que es normado si en él se puede definir una normavectorial. Podemos señalar los siguientes hechos que ayudan a comprender la importancia del concepto de espacio normado:
En un espacio euclídeo, la norma coincide precisamente con la longitud del vector.Todo espacio vectorial normado es un espacio métrico con la distancia inducida por la norma.
Si el espacio vectorial es además completo se dice que es un espacio de Banach.
Contenido
[ocultar]
1Definición
2 Ejemplos
2.1 De dimensión finita
2.2 De dimensión infinita
3 Distancia inducida
4 Espacios vectoriales normados de dimensión finita
Definición [editar]
Un espacio vectorial Vsobre un cuerpo en el que se define un valor absoluto (generalmente o ) se dice que es normado si en él se puede definir una norma, es decir, una aplicación , que verifica:
1. No negatividad. Paratodo de su norma ha de ser positiva, y será cero si y sólo si es el vector cero: si y .
2. Homogeneidad. Para todo de y para todo k de se satisface que · donde | | es el módulo o valor absoluto.
3.Desigualdad triangular. Para todos e de se cumple que .
Generalmente se denotará a (V, | | ) al espacio vectorial normado y cuando la norma sea clara simplemente por V.
Ejemplos [editar]
Dedimensión finita [editar]

El espacio euclídeo .
De dimensión infinita [editar]
Distancia inducida [editar]
En todo espacio vectorial normado se puede definir la distancia :
d(x,y): = | | x − y | |con la cual (V,d) es un espacio métrico.
Espacios vectoriales normados de dimensión finita [editar]
Se cumplen los siguientes resultados (que generalmente no son ciertos para espacios de dimensióninfinita):
Todas las normas definidas en el espacio son equivalentes, es decir, definen la misma topología. La convergencia o divergencia de una sucesión no depende de la norma escogida. El...