espacio vectorial

INTRODUCCIÓN

Comenzaremos con el estudio de un ente matemático como son los espacios vectoriales. Su definición puede parecer un poco extraña al no entendido, sin embargo, una idea ha de quedar clara: es una estructura que nos asegura que al componer dos elementos pertenecientes al espacio (elementos a los que llamaremos vectores) de acuerdo a una cierta operación, el resultado sigue siendo unelemento del espacio. En otras palabras, la suma de vectores será un vector y no cualquier otra cosa, como podría ser un punto.
Los vectores forman un espacio vectorial. El Espacio vectorial de los vectores de n coordenadas sobre un cuerpo K, se denota Kn. La suma se realiza coordenada a coordenada, y el producto por escalar también.














DESARROLLO

Espaciosvectoriales.

Definición: Espacio Vectorial.
Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades de vectores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)
Sean V y K conjuntos no vacíos. Sea + una operación interna sobre V, ysea una operación externa sobre V con conjunto de escalares K, que llamaremos producto por escalar. Diremos que V, con estas operaciones, es un espacio vectorial si se cumplen las siguientes propiedades:
1. (V, +) es un grupo abeliano.
2. K es un cuerpo.
3. El producto por escalar verifica las siguientes propiedades:
a) (α + β) v = α v + β v, ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V.
b) α (v + w) = α v + α w, ∀α ∈K, ∀v, w ∈ V.
c) α (β v) = (α β) v, ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V.
d) 1 v = v, ∀v ∈ V, donde 1 es el elemento neutro de la multiplicación de K
Algunos ejemplos de espacios vectoriales son los siguientes:
Los vectores que vimos en los temas anteriores, forman un espacio vectorial. El Espacio vectorial de los vectores de n coordenadas sobre un cuerpo K, se denota Kn. La suma se realiza coordenada acoordenada, y el producto por escalar también.
Ejemplos de este tipo son R2 o R3.
Las matrices m × n con entradas en un cuerpo K, con la suma de matrices y el producto por escalar, forman un espacio vectorial. Observemos que el producto de matrices no se utiliza aquí: En general, no tiene por que existir una multiplicación de vectores en un espacio vectorial.
El espacio vectorial trivial es elconjunto V = {0} , con respecto a cualquier cuerpo K . Cualquier operación donde intervenga algún vector da como resultado el único elemento: 0.
Los conjuntos de polinomios Q[x], R[x] y C[x] son espacios vectoriales con cuerpo de escalares, respectivamente, Q, R y C.
Los conjuntos Q[x] ≤ n, R[x] ≤ n y C[x] ≤ n, formados por polinomios de grado menor o igual a n, son espacios vectoriales con cuerpode escalares, respectivamente, Q, R y C.
Ejercicio. Probar que el conjunto de las soluciones de un sistema lineal homogéneo
Es un espacio vectorial. ¿Ocurre lo mismo con las soluciones de un sistema lineal no homogéneo
Terminamos esta sección con algunas consecuencias sencillas de la dentición de espacio vectorial:
Proposición: Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, se tienen lassiguientes propiedades, para todo α, β ∈ K y todo v, w ∈ V:
1. α 0 = 0, donde 0 es el elemento neutro de la suma en V.
2. 0 v = 0, donde 0 es el elemento neutro de la suma en K.
3. Si α v = 0 entonces, o bien α = 0 o bien v = 0.
4. Si α v = β v y v ≠0, entonces α = β.
5. Si α v = α w y α ≠0, entonces v = w.
6. (−α) v = α (−v) = −α v.
Dependencia lineal.
La noción de dependencia o independencialineal ya la hemos estudiado, en temas anteriores, para vectores de K n. La dentición es exactamente la misma para elementos de un espacio vectorial cualquiera. Repetimos aquí las definiciones y resultados principales:
Combinación lineal

Sea V un espacio vectorial sobre K. Dados r vectores v1,. . ., vr ∈ V, llamamos combinación lineal de estos vectores a cualquier expresión de la forma:...