Espacio Vectorial

Espacio vectorial
En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos deun espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo  (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto  no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:


operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir


2) tengala propiedad asociativa, es decir


3) tenga elemento neutro , es decir
  
4) tenga elemento opuesto, es decir
 
y la operación producto por un escalar:


operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:
  
6)  sea elemento neutro del producto:
 
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores:
  
8) tenga la propiedad distributiva del productorespecto a la suma de escalares:
  

Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean  y  dos vectores neutros, entonces:
   
Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean  y  dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:
   
Unicidad del elemento  en elcuerpo :
supongamos que 1 no es único, es decir, sean  y  dos unidades, entonces:
   
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :
supongamos que el inverso  de a, no es único, es decir, sean  y  dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:
   
Producto de un escalar por el vector neutro:
   
Producto del escalar 0 por un vector:
      
Si  
Si  es cierto.
Si  entonces:
       Notación
.
Observación

Si  
Si  













Combinación lineal
Un vector  se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores  si se puede expresar como suma de los vectores de  multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , es decir:

.
Así,  es combinación lineal de vectores de  si podemos expresar  como una suma de productos por escalar de unacantidad finita de elementos de .
Ejemplo:
El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):



Dados dos vectores:  y , y dos números: a y b, el vector  se dice que es una combinación lineal de  y .
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.


Cualquier vector sepuede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.
Dados los vectores , hallar el vector combinación lineal 

El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores ?












Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son las aplicaciones entre espacios vectoriales, es decir que sudominio y codominio lo son. Las transformaciones lineales, también llamadas aplicación lineal, función lineal u operador lineal, son muy importante y son muy utilizadas en álgebra  pero debes conocer que para que esta aplicación sea una transformación lineal debe cumplir con vos condiciones. Por lo tanto para que T: V→W seauna transformación lineal debe cumplir:
T(x+y)=T(x)+T(y)
T(kx)= k.T(x)Al no cumplir cualquiera de estas condiciones no se trata de una transformación lineal, por lo tanto, debes corroborarlas cuando sea necesario.

Fórmula para el núcleo
En cada transformación lineal se puede diferenciar el núcleo y la imagen. El primero son todos los v pertenecientes a V tal que T(v)=0, mientras que la imagen corresponde a todos los w pertenecientes a W para los cuales existe...