Espacio vectorial

ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS Espacio vectorial real Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación. Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalarde a y x como a x. AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL • Si x V y Y V, entonces x+y V (cerradura bajo la suma) • Para todo x,y y z en V, (x+y) = x + (y +z) (ley asociativa de la suma de vectores) • Existe un vector 0 V tal que para todo x V, x+0 = 0+x=x • (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo) • Si x V, existe un vector −x en V tal que x + (−x) = 0 (−x se llama inverso aditivo de x) • Si x y yestán en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de la suma de vectores) • Si x V y a es un escalar, entonces a x − V ( cerradura bajo la multiplicación por un escalar) • Si x y y están en V y es un escalar, entonces (x +y) = x+ y (primera ley distributiva) • Si x Vy y son escalares, entonces ( + )x = x+x (Segunda ley distributiva) • Si x V y y son escalares, entonces (x) = ()x (ley asociativa dela multiplicación por escalares) • Para cada vector x V, 1x= x EJEMPLO 1 El espacio Rn Sea V = Rn = : xj E R para i = 1,2,...,n. Cada vector en Rn es una matriz de n * 1. según la definición de suma de matrices, x + y es una matriz de n * 1 si x y y son matrices de n*1. Haciendo 0= y −x= , se ve que los axiomas ii) ax ) se obtienen de la definición de matrices.

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• SUBESPACIOS DEFINICIÓN SeaH un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V. Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial padre V. TEOREMA 1 Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si secumplen las dos reglas de cerradura. Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que x + y y ax están en H cuando x y y están en H y a es un escalar. Lo anterior dice que: Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0. EJEMPLO El subespacio trivial Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto 0 que consiste en el vector cero nadamás es un subespacio ya que 0+0= 0 y a0 = 0 para todo número real a. TEOREMA 2 Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces H1 H2 es un subespacio de V. 5.3 INDEPENDENCIA LINEAL En el estudio de álgebra lineal, una de las ideas centrales es la dependencia o independencia lineal de los vectores. DEFINICIÓN Dependencia e independencia líneal sean v1, v2, ..., vn, n vectores enun espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son lineamientos dependientes si existen n escalares no todos cero tales que C1 v1 + c2 v2 + ... cnvn = 0 Si los vectores no son lineamientos dependientes, se dice que son lineamientos independientes. TEOREMA 1 Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro. TEOREMA 2 2Un conjunto de n vectores en Rm siempre es linealmente dependiente si n>m. TEOREMA 3 A= Entonces las columnas de A, consideradas como vectores, son linealmente dependientes si y solo si el sistema , que se puede escribir como Ac = 0, tiene soluciones no triviales. TEOREMA 4 Sean v1, v2, ..., vn, n vectores en Rn y sea A una matriz de n*n cuyas columnas son v1, v2, ..., vn. Entonces v1, v2, ..., vnson linealmente independientes si y sólo si la única solución al sistema homogéneo Ax= 0 es la solución trivial x=0. TEOREMA 5 Sea A una matriz de n*n. Entonces det A = 0 si y solo si las columnas de A son linealmente independientes. TEOREMA 6 Cualquier conjunto n vectores linealmente independientes en Rn genera a Rn EJEMPLO Dos vectores linealmente dependientes en R4 Los vectores v1= y v2= son...