Espacios localmente compactos

Espacios Producto y Topologia Debil
Luis Andres Puello De La Espriella
5 de Noviembre de 2015

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Definici´
on 1 Nuestro Objetivo ahora es definir una topologia sobre el producto cartesiano
de espacios Topologicos de una manera natural y util. primero extenderemos la nocion de
producto cartesiano a una coleccion infinita de conjuntos. mostraremos que el producto cartesiano de una coleccionfinita de conjuntos es de una manera natural, una coleccion de
funciones definidas sobre un conjunto de indices
Definici´
on 2 Sea Xα un conjunto para cada α ∈ A. El Producto cartesiano de los conjuntos
Xα es el conjunto:
Xα := {x : A −→
α∈A

Xα | x(α) ∈ Xα para cada α ∈ A}
α∈A

A este conjunto lo denotaremos Xα cuando no haya confusion sobre el conjunto de indices. En la practica el valor de x ∈ Xα esusualmente denotado xα en vez de x(α). y nos
referimos a xα como la α − esima coordenada. el espacio Xα es el α − esimo espacio factor.
La funcion πβ : Xα −→ Xβ definida por πβ (x) = xβ . es llamada la proyeccion de
sobre Xβ o mas simplemente la β − esima proyeccion

Xα

Ejemplo 1 Si el conjunto de indices es finito, digamos A = {1, 2, ...n} es costumbre escribir
n

la funcion x en

Xk listandosus valores como n-upla esto es x = (x1 , ..., xn ) asi entonces
i=1
n

Xk = {(x1 , ..., xn ) | xk ∈ Xk para k = 1, 2, ..., n }
i=1

Ejemplo 2 La notacion del ejemplo anterior puede ser extendida al caso donde A = N esto
es
∞
Xk = {(x1 , x2 , ...) | xk ∈ Xk para k = 1, 2, ... }
i=1

Ejemplo 3 si Xα = X para cada α ∈ A entonces α∈A Xα es el conjunto X A de todas las
funciones de A a X; asi RR es elconjunto de todas las funciones realvaluadas de variable
real
Ahora Supongamos que Xα es un espacio topologico para α ∈ A queremos definir una
topologia sobre α∈A Xα de forma natural y tener un nunmero de teoremas de la forma ”si
cada Xα tiene la propiedad P, entonces α∈A Xα posee la propiedad P ”. si la naturalidad
fuera el unico requerimiento el trabajo seria facil. por ejemplo en R2 losrectangulos abiertos
forman una base para la topologia usual. asi un obvio candidato para la topologia surge
siemplemente tomando como base para la topologia los conjuntos de la forma Uα donde
Uα es un abierto en Xα para α ∈ A. de hecho este procedimiento nos da una topologia
valida llamada topologia de cajas sobre α∈A Xα . esta topologia no es muy usada porque se
tiene una sobre abundancia de abiertos.la proxima definicion, es la topologia que usualmente
se usa en el producto porque reduce el numero de abiertos.

2

Definici´
on 3 La Topologia de Tychonoff o Topologia producto sobre
tomando como base para los conjuntos abiertos, conjuntos de la forma

Xα es obtenida
Uα donde:

α∈A

a) Uα es un abierto en Xα para α ∈ A
b)para todos exepto,un numero finito de coordenadas se tiene que Uα = Xα
dehecho inciso a) puede ser reemplazado por Uα ∈ βα para α ∈ A donde βα es una base
fija para la topologia de Xα
Ahora el conjunto
to como

Uα , donde Uα = Xα exepto para α = α1 , α2 , ..., αn puede ser escriUα = πα−11 (Uα1 ) ∩ · · · ∩ πα−1n (Uαn )

La topologia producto tiene como subbase precisamente el conjunto
{πα−1 (Uα ) | α ∈ A, Uα abierto en Xα }.
n

En el caso de un numero finito de espaciosX1 , X2 , ..., Xn la topologia producto sobre

Xk
i=1

coincide con la topologia de cajas. En particular R × . . . × R (n veces) con la topologia producto es homeomorfo a Rn siempre que hablemos de α∈A asumimos dotado de la topologia
producto
Definici´
on 4 si X e Y son espacios topologicos y una funcion f : X −→ Y llamaremos a f
una funcion abierta (cerrada) si y solo si para cada A conjuntoabierto (cerrado) la imagen
directa f (A) es un conjunto abierto (cerrado) en Y
En general una funcion abierta no necesita ser cerrada y viceversa
Ejemplo 4 la aplicacion f : R −→ R con la topologia usual definida por x −→ ex es abierta
porque f ((a, b)) = (ea , eb ) sin embargo no es cerrada porque f (R) = [0, ∞)
Ejemplo 5 la aplicacion f : R −→ R con la topologia usual definida por x −→ x2 es...