Espacios vectoriales

DEFINICICON DE ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS VECTORIALES

Definición espacio vectorial:
Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie depropiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores.
El término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección ya sea una fuerza, una velocidad o una distancia. Este término también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones
Para ser un espacio vectorial debecumplir las siguientes reglas:
Respecto a la suma:
* suma cerrada: ϑ⨁ω ∈ E ∀ω,ϑ, ∈ E
* conmutatividad: ϑ⨁ω= (ω⨁ϑ) ∀ω,ϑ, ∈ E
* Asociativa υ⨁ϑ⨁ω= υ⨁ϑ⨁ω ∀υ,ϑ,ω ∈ E
* Neutro: ϑ⨁e= ϑ=e⨁ϑ ∃'e∈E ∀υ∈E
* Inversa: ϑ⨁x=e=x⨁ϑ ∀ ϑ∈E ∃'x∀E
Respecto a la multiplicación por un escalar:
* Multiplicación porescalar : (k⨀ϑ) ∈E ∀ k∈R
* Asociativa :k⨀(l⨀ϑ) = k⨀l⨀ϑ ∀ k,l∈R ∀ ϑ∈E
* Conmutativa: k⨀ϑ=ϑ⨀k ∀ k∈R ∀ ϑ∈ E
* Distributiva: k⨁l⨀ϑ=k⨁ϑ⨀lω ∀ k,l∈R ∀ω,ϑ, ∈ E
* Elemento neutro: 1⨁ϑ= ϑ ∃1∈R ∀ ϑ∈ E

Definición sub-espacio vectorial:
Un sub-espacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertascaracterísticas específicas. De hecho todos los espacios vectoriales tienen por lo menos un sub-espacio vectorial.
Condición de existencia del sub-espacio
El criterio de verificación de que S es sub-espacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo
Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del sub-espacio vectorial. Sea V un espaciovectorial, se define S como sub-espacio vectorial si y solo si:
* S no es un conjunto vacio (S≠0)
* S es igual o está incluido en V (S⊆V)
* La suma es ley de composición interna ∀x∈S ∀ y ∈S ⇒(x+y) ∈S
* El producto es la ley de composición externa:
∀x∈S ∀ k∈R ⇒k*x ∈S
Si estas cuatro condiciones s cumplen podemos decir queeste conjunto es un subespacio.
(se puede decir que l subespacio hereda las operaciones de el espacio vectorial “padre”)


COMBINACION LINEAL

Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que:

Así, es combinaciónlineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de.
Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
En otras palabras,cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar al vector en cuestión.

INDEPENDENCIA LINEAL

Un conjunto de vectores ∀x, x1 ∈ Cn:x1x2x3…..xk es linealmente independiente si ninguno de los vectores puede escribirse como una combinación lineal de los otros.
Un conjunto dado de vectores x1x2x3…..xn es linealmenteindependiente si
c1x1+c2x2+..…+cnxn= 0
Solo cuando c1=c2=..=cn=0
Un vector también es linealmente independiente si el vector cero no se puede expresar como combinación nula de los vectores
S = .

BASES
Una base para Cn es el conjunto de vectores que:
* Genera Cn
* Son linealmente independientes
Claramente, un conjunte de n de vectores linealmente independientes es...