espacios vectoriales

UNIDAD 4 ESPACIOS VECTORIALES

4.1 DEFINICION DE UN ESPACIO VECTORIAL
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
4.2 DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES
Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

4.3 COMBINACION LINEAL, DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Combinación Lineal:
Se denomina combinación lineal a u vector V en unespacio vectorial U u un cuerpo h.
Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como:
V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h .

Envolvente Lineal:
Este es el conjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado por Lin(v1, v2, ..., vn) y se denomina envolvente lineal de u1, u2, ...,un.
Siendo S un sub conjunto de un espacio vectorial Ventonces Lin S es un sub conjunto de un espacio vectorial V y si W es un subconjunto de V que contiene a S, necesariamente Lin S es complemento de W.

4.4 BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
Teorema y definición: Dimensión.
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismonúmero de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
• Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.
Propiedades de la dimensión.
1. Significado físico de la dimensión: el espacio tienedimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0.
2. número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)La dimensión de un subespacio en ℜn, coincide con el
3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S dim T.≤

Además, si se da la igualdad, dim S= dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.
4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan.

Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r.
(Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)

Definición: Matriz del cambio de base.
Enun espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’, se llama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base B expresados en función de la base B’.
Su utilidad es la siguiente: Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitirá hallar las coordenadas de dicho vector en base B’.
En...