Espacios vectoriales

Unidad 4.- espacios vectoriales

4.1.-definicion de espacio vectorial.
El concepto de espacio vectorial es sin duda uno de los más importantes de esta asignatura y del
Algebra Lineal. El espacio vectorial es una estructura algebraica que generaliza, hasta el mayor nivel de abstracción, la idea de los vectores geométricos del plano y el espacio euclídeos ordinarios, así como las magnitudesvectoriales que aparecen en Física; esencialmente, son conjuntos cuyos elementos se pueden sumar entre sí, y multiplicar por números. Los espacios vectoriales que aparecen de manera natural en distintas ramas de las matemáticas.
Todo espacio vectorial lleva siempre asociado un conjunto con estructura de cuerpo, cuyos elementos llamaremos escalares, que jugarán el papel de números. Los elementos delespacio vectorial serán los vectores.

Definición.- Sean (E, +) un grupo abeliano y (K, +, ·) un cuerpo conmutativo; sea · : K × E → E una ley externa, es decir, ∀λ ∈ K, ∀u ∈ E, (λ, u) 7→ λ · u ∈ E.
Se dice que la cuaterna (E, K, +, ·) tiene estructura de espacio vectorial, o bien que E es un
Espacio vectorial sobre K si se verifican:
1. ∀u ∈ E, ∀λ, µ ∈ K, (λ + µ) · u = λ · u + µ · u.
2.∀u, v ∈ E, ∀λ ∈ K, λ · (u + v) = λ · u + λ · v.
3. ∀u ∈ E, ∀λ, µ ∈ K, (λµ) · u = λ · (µ · u).
4. ∀u ∈ E, 1 · u = u (1 representa la unidad del cuerpo K).

Notación y terminología:
Los elementos del espacio E se denominan vectores, mientras que los del cuerpo K se llaman
Escalares. El símbolo “·”del producto de escalar por vector (así como el del producto de escalares) a menudo se omite: λu := λ· u.
Cuando el cuerpo de escalares sobre el que se define un espacio vectorial E es el de los números reales, suele decirse que E es un espacio vectorial real; cuando es el de los complejos, E se llama un espacio vectorial complejo.

Propiedades:
A partir de la definición, se deducen inmediatamente las siguientes:
∀u ∈ E, 0 · u = 0.
Sean λ ∈ K y u ∈ E; λu = 0 ⇔ λ = 0 ∨ u = 0.
∀λ ∈ K, ∀u ∈ E,(−λ)u = λ(−u) = −(λu).
4.2.-definicion de subespacio vectorial.

Definición. Sea H un subconjunto de un espacio vectorial V y supongamos que H es en sí un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicación escalar definidas sobre V. Se dice entonces que H es un subespacio de V.
Teorema. Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos reglas decerradura valen:
Reglas para verificar si un subconjunto es un subespacio
i. Si x ∈ H y y ∈ H, entonces x + y ∈ H.
ii. Si x ∈ H, entonces αx ∈ H para todo escalar α
Demostración. Para demostrar que H es un espació vectorial, debemos verificar que los axiomas de los espacios vectoriales cumplen con las operaciones de la suma vectorial y multiplicación escalar definidas en V. Las dos operacionesde cerradura se cumplen por hipótesis. Puesto que los vectores en H también están en V, las leyes asociativa, conmutativa, distributiva y la del neutro multiplicativo se satisfacen. Ahora, si x ∈ H entonces 0x ∈ H, debido a la hipótesis (ii). Pero por el teorema de espacios vectoriales (parte ii), 0x = 0. Consecuentemente 0 ∈ H y el axioma (iii) se cumple. Finalmente, de la parte (ii) tenemos que(-1)x ∈ H para todo x ∈ H. Por el teorema de espacios vectoriales (parte iv), -x = (-1)x ∈ H, de tal forma que el axioma (iv) también se cumple y con ello concluimos la demostración.
Este teorema nos dice que para probar que H es un subespacio de V, nos basta con verificar que:
x + y y αx están en H, siempre que x y y estén en H y α sea un escalar.
4.3.-  combinación lineal e Independencialineal.
Definición. Dependencia e independencia lineales. Sean v1, v2, ..., vn n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, ..., cn no todos cero, tales que
c1v1 + c2v2+...+cnvn = 0
Si los vectores no son linealmente dependientes, entonces se dice que son linealmente independientes.
Expresado de otro...