Espacios vectoriales

Espacios Vectoriales

1.1 Definición
En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección, ya sea una fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones. De manera breve, se puede decirque un conjunto V se denomina espacio vectorial cuando en él se presentan 2 operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar, y cumpla con 10 axiomas. En este espacio vectorial tenemos elementos, los vectores, a los cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos.

1.2 Reglas de los Espacios Vectoriales
Ahora, supongamos que tenemos un conjunto donde para u,v ∈ V (u y vson vectores dentro del espacio V) y a,b son escalares, y éste conjunto cuenta con solo las dos siguientes operaciones:

a) La suma de vectores, o simplemente suma, la cual es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u ⊕ v.

Y b) la multiplicación, la cual es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y uun segundo vector representado por c ⊙ u.

Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas:

Axioma 1.- Para cualquiera dos vectores u y v en V
u ⊕ v ∈ V (1) graficamente,

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma, y se define asi:
La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultadotambién un elemento del conjunto.

Axioma 2.- Para cualquiera dos vectores u y v en V
u ⊕ v = v ⊕ u (2) gráficamente,

Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma, y se define:
El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

Axioma 3.- Para cualquiera tres vectores u, v y w en V
u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (3) gráficamente,

Esteaxioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:
En una suma de vectores, no importa el orden como asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.

Axioma 4.- Existe un único vector en V que se simbolizará por 0 y que se llamará el vector cero tal que para cualquier vector u ∈ V se cumple
u ⊕ 0 = 0 ⊕ u = u (4) gráficamente,

Este axioma se conoce comoel axioma de la existencia del elemento neutro:
Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.

Axioma 5.- Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple
u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 (5) gráficamente,

Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos:Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con el da el neutro aditivo.

Axioma 6.- Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar a ∈ R se cumple
a ⊙ u ∈ V (6) gráficamente,

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares:
El resultado del producto entre cualquier escalar porcualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.

Axioma 7.- Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar a en R se cumple
a ⊙ (u ⊕ v) = (a ⊙ u) ⊕ (a ⊙ v) (7) gráficamente,

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores):
En un producto de un escalar por unasuma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector, que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados.

Axioma 8.- Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple
(a + b) ⊙ u = (a ⊙ u) ⊕ (b ⊙ u) (8) gráficamente,

Este axioma se conoce como la propiedad...