Espacios vectoriales

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Espacios Vectoriales

UNIDAD 3:
Desarrollo de Competencia:

ESPACIOS VECTORIALES
3.1. Definición de EV.

Comprender el concepto de espacio vectorial
como la estructura algebraica que generaliza y
hace abstracción de operaciones que aparecen
en diferentes áreas de la matemática mediante
las propiedades de adición y multiplicación por
un escalar.
Construir, utilizando el algebrade vectores,
bases de un espacio vectorial y determinar la
dimensión del espacio correspondiente.

3.1.1. Propiedades elementales de los EV.

3.2. Definición de Sub-EV.
3.2.1. Condición necesaria y suficiente para que un
subconjunto de un EV sea Sub-EV.

3.3. Combinación lineal y Espacio Generado.
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
3.3.4.

Concepto de combinación lineal.
Concepto de conjuntogenerador.
Conjuntos generadores de EV.
Subespacio Vectoriales generados.

3.4. Independencia y Dependencia Lineal
3.4.1. Concepto de conjunto linealmente independiente.
3.4.2. Concepto de conjunto linealmente dependiente.

3.5. Base y Dimensión de un Espacio Vectorial.
3.5.1. Concepto de base para un EV.
3.5.2. Concepto de dimensión de un EV.

3.6. Espacio renglón y espacio columna deuna
matriz.
3.6.1.
3.6.2.
3.6.3.
3.6.4.

Espacio nulo y nulidad de una matriz.
Imagen y Rango de una matriz.
Espacio renglón de una matriz.
Espacio columna de una matriz.

3.7. Uso de Software.

Facultad de Informática Culiacán

Lic. Roy Jonny Sida López ®

Álgebra Lineal

Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES
En cursos previos de matemáticas se observo que se podíaidentificar el conjunto de los números reales
forma se puede asociar 2 a un plano y 3 al espacio tridimensional.

con una recta. De igual

Un vector se representa por un segmento orientado con inicio en el origen y punto final dado, tal como indica la figura 1:

Figura 1. Vector de posición del punto P en el plano y espacio
Las componentes (o coordenadas) de un vector son las coordenadascartesianas de su punto final.
De este modo, un vector en el plano se puede asociar a un par v   x, y  
una terna v   x, y, z  

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y un vector en el espacio puede asociarse a

, en general para un número entero positivo n  , un vector en el espacio n-dimensional es

asociado a una n  tupla v   x1 , x2 ,

, xn  

n

.

OPERACIONES CON VECTORES
Dados u   x1 , x2,


, xn  y v   y1, y2 , , yn  en

Suma: u  v   x1, x2 ,

n

se define dos operaciones importantes:

, xn    y1, y2 , , yn    x1  y1, x2  y2 , , xn  yn  Es decir, simplemente se

suma componente a componente.


Producto por escalares,  v    x1 , x2 ,

, xn    x1 , x2 , , xn  Es decir, se multiplica el escalar por cada

una de las componentes.Lic. Roy Jonny Sida López ®

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ESPACIO VECTORIAL
Definición 1.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una
que recibe el nombre de “suma” y otra que recibe el nombre de “producto por escalares”.
 Suma  :V V  V
 Producto por escalares : V  VLas dos operaciones definidas cumplen con los siguientes axiomas.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL
1)

Si, u, v V entonces u  v V (Cerradura bajo la suma).

2) Si, u, v, w V entonces u   v  w    u  v   w (Ley Asociativa de la suma).
3) Existe un vector 0 V tal que u  0  u para todo u V (Elemento neutro de la suma).
4) Para cada u V existe u V tal que u   u   0(Elemento inverso de la suma).
5) Si, u, v V entonces u  v  v  u (Ley conmutativa de la suma).
6) Si, u V y  es un escalar, entonces  u V (Cerradura bajo la multiplicación por escalar).
7) Si, u, v V y  es un escalar, entonces   u  v    u   v (Primera ley distributiva).
8) Si, u V y  ,  escalares, entonces     u   u   u (Segunda ley distributiva).
9) Si, u V y...