Espacios vectoriales


Capítulo 1 
Los espacios vectoriales Rn y Cn
1.1  Definici ́on. Combinaciones lineales. Clausura lineal. Dependencia e independencia lineal. Subespacios vectoriales.
1.2  Bases. Dimensi ́on. Intersecci ́on y suma de subespacios. Suma directa. Subespacios suplementarios. La relaci ́on de Grassmann.
1.3  Ejercicios. Cuestiones.
1.1. Definición, propiedades y ejemplos
En el presente caṕıtulo nos proponemos estudiar los espacios vectoriales Rn y Cn, que son generalizaciones del plano y del espacio excl. ́ıdeo ordinarios as ́ı como de las magnitudes vectoriales de la f ́ısica. Se trata de conjuntos cuyos elementos, denominados vectores, pue- den sumarse entre s ́ı y asimismo multiplicarse por nu ́meros, que denominaremos escalares, obteni ́endose como resultado en ambos casos unnuevo vector.
Nota: En lo que sigue, la letra K denotar ́a indistintamente el cuerpo R de los nu ́meros reales o el cuerpo C de los nu ́meros complejos. Utilizamos el mismo s ́ımbolo “+” para denotar la suma en el espacio Kn (suma de vectores) y la suma en el cuerpo K. El s ́ımbolo “·” denota la ley externa en Kn (producto de escalar por vector)1.
Definici ́on 1 Si n es cualquier entero positivo,definimos el espacio Kn como el conjunto de las n-uplas ordenadas de elementos de K, es decir:
Kn := {(x1,x2,...,xn) : xj ∈ K,j = 1,2,...,n}. (1.1) Los elementos de Kn se denominan vectores. Los elementos xj ∈ K se denominan com-
ponentes del vector.
1En la pr ́actica, tanto para producto de escalares como de escalar por vector, se yuxtaponen los t ́erminos omitiendo el punto “·”.
1

2 Álgebra (2013) Definici ́on 2 (suma de vectores) En Kn definimos la operaci ́on suma mediante
(x1,x2,...,xn) + (y1,y2,...,yn) := (x1 + y1,x2 + y2,...,xn + yn). (1.2)
Propiedades de la suma:
La suma de vectores de Kn es una ley de composici ́on interna en Kn (es decir, a cada par de vectores de Kn le asocia un nuevo vector de Kn) que verifica las siguientes propiedades:
1.∀x,y,z∈Kn,(x+y)+z=x+(y+z)(propiedadasociativa).
2. ∃0∈Kn talque,∀x∈Kn,x+0=0+x=x(existenciadeelementoneutro).
3. ∀x ∈ Kn, ∃−x ∈ Kn tal que x+(−x) = −x+x = 0 (existencia de elemento sim ́etrico).
4. ∀x, y ∈ Kn, x + y = y + x (propiedad conmutativa).
Las cuatro propiedades enunciadas, que se deducen inmediatamente de las de la suma de
nu ́meros reales o complejos, dotan a la dupla (Kn, +) de la estructura de grupoabeliano. Definici ́on 3 (vector nulo) Llamamos vector nulo de Kn, y lo denotamos por 0, al
vector (0, 0, . . . , 0), es decir, el elemento neutro de la suma de vectores.
Definici ́on 4 (vector opuesto) Dado un vector x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn, su opuesto es el vector −x := (−x1, −x2, . . . , −xn), es decir, su elemento sim ́etrico respecto a la suma de vectores.
Definici ́on 5 (producto deescalar por vector) Si α ∈ K y (x1,x2,...,xn) ∈ Kn, definimos su producto mediante
α · (x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn). (1.3) Esta operacio ́n tambi ́en se denomina ley externa de Kn.
Propiedades de la ley externa:
La ley externa, en conjunci ́on con la suma de vectores, verifica las siguiente propiedades: 5. ∀x ∈ Kn, ∀λ,μ ∈ K, (λ+μ)·x = λ·x+μ·x.
6. ∀x,y∈Kn, ∀λ∈K, λ·(x+y)=λ·x+λ·y.
7.∀x ∈ Kn, ∀λ,μ ∈ K, (λμ)·x = λ·(μ·x).
8. ∀x∈Kn, 1·x=x.
Todas estas propiedades se deducen f ́acilmente de las de la suma y el producto de nu ́meros reales o complejos. Las propiedades 1 a 8 dotan a la cuaterna (Kn, K, +, ·) de la estructura de espacio vectorial. Tambi ́en se dice que Kn es un espacio vectorial sobre K.
Cap ́ıtulo 1 3
Propiedades adicionales:
De las 8 propiedades enunciadas —queconstituyen los axiomas de espacio vectorial—, o bien de las propiedades de suma y producto de nu ́meros reales y complejos, se deducen con facilidad las siguientes (n ́otese la distinci ́on entre el escalar 0 ∈ K y el vector 0 ∈ Kn):
∀x∈Kn, 0·x=0.
Sean λ ∈ K y x ∈ Kn; λ · x = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0. ∀λ ∈ K, ∀x ∈ Kn, (−λ)·x = λ·(−x) = −(λx).
1.1.1. Combinaciones lineales
Definici ́on 6...