Espacios Vectoriales

Capítulo 3
Espacios vectoriales

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3.1 Espacios vectoriales
El espacio vectorial Rn es un conjunto de elementos
llamados vectores en los que se definen dos
operaciones, la adición y la multiplicación por un
escalar. También tiene otras propiedades algebraicas, la conmutatividad y la asociatividad
u+v =v+u
u + (v + w) = (u + v) + w
Se analizanéstas y otras propiedades para formular
un conjunto de axiomas que definen un espacio
vectorial.
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Definición: Espacio vectorial
Un espacio vectorial es un conjunto de elementos
llamados vectores en los que se definen dos
operaciones, la adición y la multiplicación por un
escalar y satisfacen las siguientes condiciones:
Sean u, v y w ∈ V y α y βescalares.
Axiomas de cerradura

u+v∈ V
αu∈ V
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Axiomas de multiplicación
por un escalar

Axiomas de adición

u+v= v+u
u + (v + w) = (u + v) + w
u+0= u
u + (-u) = 0

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α (u + v) = α u + α v
(α + β )u = α u + β u
(α β )u = α (β u)
1u = u

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Espacio vectorial de matrices
Considérese el conjunto dematrices de 2×2.
Denotado por M22. Usando notación vectorial, sean

a b 
e
u=
; v = 
c d 
g

f

h

Si se satisfacen todos los axiomas, se tiene un
espacio vectorial.

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3.2 Subespacios de

n
R

Un subconjunto H no vacío de Rn se llama
subespacio vectorial de Rn si se satisfacen las
siguientes propiedades.
1.
2.

Si u y vestán en H, u + v está en H.
Si α es cualquier escalar y u está en H,
entonces α u está en H

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Ejemplos
1.

2.
3.
4.

{0} y Rn son subespacios de Rn.
También se les llama subespacios triviales de
R n.
H = {(x, y, 0), x, y ∈ R} es un subespacio de R3.
H = {(x, y, x + y), x, y ∈ R} es un subespacio de
R3.
El conjunto H = {(x, x + 1), x ∈ R}no es
subespacio de R2.

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3.3 Combinación lineal de vectores
Definición:
Sean v1, v2, ...,vn vectores-n de un espacio vectorial
V. Se dice que v, un vector en V, es una
combinación lineal de los vectores v1, v2, ...,vn si
existen escalares α1, α2, …, αn, tales que
α1 v1+ α2 v2+…+ αn vn= v

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EjemploEl vector (5, 4, 2) es una combinación lineal de los
vectores (1, 2, 0), (3, 1, 4) y (1, 0, 3) puesto que
(5, 4, 2) = (1, 2, 0) + 2(3, 1, 4) - 2(1, 0, 3)
El problema de determinar si un vector es
combinación lineal de otros vectores se convierte
en resolver sistemas lineales.

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Ejemplos
1. Determinar si el vector (-1, 1, 5) es una
combinaciónlineal de los vectores (1, 2, 3), (0, 1, 4) y
(2, 3, 6)
2. Expresar el vector (4, 5, 5) como una
combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (-1, 1, 4)
y (3, 3, 2)
3. Demostrar que el vector (3, -4, -6) no es una
combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (1, 4, 5) y
(-1, -1, -2)
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Dependencia e independencia lineal
Definición:
a) El conjuntode vectores {v1, v2, …, vn} en un
espacio vectorial V se dice que es linealmente
dependiente si existen escalares α1, α2, …, αn,
no todos cero, tales que
α1v1 + α2v2+ …+ αnvn = 0

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Definición
b) El conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es

linealmente independiente si
α1v1 + α2v2+ …+ αnvn = 0
solo si α1, α2, …, αn = 0

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Ejemplo:
Vectores linealmente dependientes
El conjunto de vectores {(1, 2, 3), (-2, 1, 1), (8, 6, 10)}, es
linealmente dependientes en R3.

α1(1, 2, 3) + α2(-2, 1, 1) + α3(8, 6, 10) = 0
 1 −2 8  α1   0 

   
2 1 6  α2  =  0 

 3 1 10   α   0 

 3   


1
 1 −2 8 0  


 2 1 6 0 ∼ 0
 3 1 10 0   0




1 10...