espacios vectoriales


Instituto Tecnológico de Puebla


Departamento de Ing. Industrial


Materia: Algebra Lineal


Ensayo: Espacios vectoriales


Maestro: Javier Morales Hdez.


Emilio Rodríguez Mauricio No. Control: 13221571



4.1 Definición de espacio vectorial.
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma,definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo, escalares.
La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Estaestructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.
Es importante tener en cuenta que todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial, a su vez, presentan la misma cardinalidad.

4.2 Definición de subespacio vectorial y su Propiedades.
Sea H un subconjunto no vacío de un espaciovectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
Teorema de subespacio
Un subconjunto no vacío de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio

i) Si “x € H” y “y € H”, entonces “x + y € H”.
ii) Si “x € H”, entonces αx € H para todo escalar α.
Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberáncumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en “H” son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa,distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.
Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:
“x + y” y “αX” están en “H” cuando “x” y “y” están en “H” y “α” es un escalar.
Propiedades
1) El vector cero de V está en H.2
2) H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la sumau + v está en H.
3) H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.
Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.
Unacombinación lineal en M23

Conjunto generador.
Se dice que los vectores v1, v2,…, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal del mismo. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2,…, an tales que v=a1v1+a2v2+…+anvn
Cuatro vectores que generan a M22

Espacio generado por un conjunto de vectores.
Sean v, v2, …, vk, k vectores de unespacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2, …, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, …, vk. Es decir donde a1, a2,…, ak, son escalares arbitrarios.
Teorema: si v1, v2,…, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen {v1, v2,…, vk} es un subespacio de V.
Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3
Sea v1= (2,-1,4) y v2= (4, 1, 6). Entonces H=gen {v1,...