Espacios vectoriales

Espacios Vectoriales y subespacios
e Independencia Lineal

• En estos temas se generalizara aún más el
concepto de vector.
• Se enunciara un conjunto de axiomas que, si
una clase de objetos cumplen con ellos,
permitirá denominar «vectores» a dichos
objetos.

• Estos vectores generalizados incluirán, entre
otras cosas, varias clases de matrices y
funciones.

Definición y propiedades básicasEn el parcial anterior, los conjuntos R^2
(vectores en el plano) y R^3 (vectores en el
espacio) cuentan con diversas propiedades
peculiares. Se pueden sumar dos vectores en
R^2 y obtener otro vector R^2.
En la suma de Vectores en R^2 obedece a las
leyes conmutativas y asociativas.

• Si x ϵ R^2, entonces x+0=x y x+(x)=0.
• Se pueden multiplicar vectores en R^2
por escalares y obtener las leyesdistributivas.
• En
R^3
cumplen
propiedades.

las

mismas

• Los conjuntos R^2 y R^3 junto con las
operaciones de suma de vectores y
multiplicación por un escalar se denomina
espacios vectoriales. Se puede decir, de forma
intuitiva, que un espacio vectorial es el
conjunto de objetos con dos operaciones que
obedecen las reglas que acaban de escribirse.

• En el presente capitulo habrá un cambio, enapariencia grande, del mundo concreto de la
solución de ecuaciones y del manejo sencillo
de los vectores que se visualizan, al mundo
abstracto de los espacios vectoriales
arbitrarios.

• Como se vera mas adelante, muchos de los
teoremas abstractos que se demostraran, en
términos generales no son tan difíciles de los
que se han estudiado.

ESPACIOS VECTORIALES

• Un espacio vectorial real V esun conjunto de
objetos, denominados vectores, junto con dos
operaciones binarias llamadas suma y
multiplicación por escalar, y que satisfacen los
diez axiomas.

Axiomas de espacios vectoriales
• Sea V un conjunto arbitrario no vacío de
objetos sobre el cual están definidas dos
operaciones : la adición y la multiplicación por
escalares (números).
• Por adición se entiende una regla que asocia
concada par de objetos u y v en V un objeto
u+v, denominado la suma de u y v.

• Por multiplicación por escalar se entiende
una regla que asocia cada escalar k y con cada
objeto u en V un objeto ku , denominado el
múltiplo escalar de u por k.

• Si los objetos u, v y w en V y los escalares k y
m, satisfacen los siguientes axiomas, entonces
V se denomina espacio vectorial y los objetos
en V sedenominan vectores.

tal que 0 + u = u + 0 = u para todo u en V
de u, tal que u + (-u) = (-u) + u =0

en V.

• Se deberá tener presente que la definición de
espacio vectorial no especifica la naturaleza de
los vectores ni de las operaciones.
• Cualquier tipo de objeto puede ser un vector,
y es posible que las operaciones de adición y
multiplicación escalar no guarden ninguna
relación o semejanza conlas operaciones
vectoriales estándar sobre R^n.

• El único requisito es que satisfagan los diez
axiomas en la definición de espacio vectorial.

• Ejemplos de espacios vectoriales

Ejemplo1 El espacio R^n
Sea V=

• Cada vector R^n es una matriz de nx1.
• x + y es una matriz de nx1, donde x y y son
matrices de nx1.
• Haciendo
Los axiomas ii) a x) se cumplen

y –x=

Del mismo modo los axiomas 3,7, 8 y 9 se deducen

Ejemplo 3 Espacio vectorial trivial
Sea V={0}. Es decir, V consiste solo en el
numero 0.
Como
0+0=1*0=0+(0+0)=(0+0)+0=0.
Se ve que V es un espacio vectorial. Con
frecuencia se le otorga el nombre de espacio
vectorial trivial.

Ejemplo 4. El conjunto de puntos en R^2 que se

encuentra en una recta que pasa por el origen
constituye un espacio vectorial

Sea V={(x,y): y=mx,donde m es un numero real
fijo y x es un numero real arbitrario}
Es decir, V consiste en todos los puntos que están
sobre la recta y=mx que pasan por el origen y
tiene pendiente m. Para demostrar que V es un
espacio vectorial, se puede verificar que se
cumple cada uno de los axiomas. Observe que los
vectores en R^2 se han escrito como renglones en
lugar de columnas, lo que en esencia es lo mismo...