Espiral de Cornu

Resoluci´on num´erica completa de la Ecuaci´on
de la Clotoide
Javier Jim´enez Shaw
2003-12...2009-02

Contents
1 Introducci´
on

2

2 Definici´
on del problema

3

3 Ecuaciones de Fresnel

4

4 Desarrollo de Taylor

6

5 Desarrollo en serie de potencias negativas

6

6 Conclusi´
on

9

List of Figures
1

Clotoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

y=

3

y=

x
0
x
02

cos u2 du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

sin u2 du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1

1

Introducci´
on

La clotoide, o espiral de Corn´
u, es la curva que cumple la condici´on
s · ρ = A2

(1)

donde s es la longitud del arco, ρ el radio de curvatura, y A el par´ametro de
la clotoide.
Tambi´en se puede expresar como
s
= A2
κ
donde κ es lacurvatura, inversa del radio de curvatura.

Figure 1: Clotoide

2

(2)

2

Definici´
on del problema

Para resolver la ecuaci´on nos basamos en la definici´on de longitud de arco y
de radio de curvatura (no son particulares para el caso de la clotoide)
s1

ϕ =
so
ϕ1

ds
ρ

(3)

ρ cosϕ dϕ

(4)

ρ sinϕ dϕ

(5)

x =
ϕo
ϕ1

y =
ϕo

Estas ecuaciones no est´an en coordenadas polares, sino que ρ es el radiode
curvatura, y ϕ el angulo en radianes que forma la tangente en ese punto con
el eje x.
Aplicando (1) en (3), y operando un poco tenemos:
s1

ϕ=
so

s
1
ds =
2
A
2

s1
A

2

−

so
A

2

; dϕ =

s
ds
A2

(6)

Para simplificar la notaci´on, el origen de integracion, so , ser´a 0.
Ahora, aplicando estos resultados en (4) y (5),
S

x=
0

A2
1 s
cos
s
2 A

2

S

y=

sin
0

S

s
ds =
A2
1 s
2 A

3

cos0

1 s
2 A

2

ds

(7)

2

ds

(8)

3

Ecuaciones de Fresnel

Hacemos un cambio de variable para llegar a las famosas ecuaciones de Fresnel.
s
√
A 2
1
√ ds
du =
A 2
√
ds = A 2du
U
√
cos u2 du
x = A 2
u =

(9)
(10)
(11)
(12)

0

√
y = A 2

U

sin u2 du

(13)

0

Vemos que la√raz´on de la homotecia que vamos a aplicar a las ecuaciones de
Fresnel es A 2, tanto en el valor de longitud de arco en laentrada como en
los resultados x e y en la salida.
Las ecuaciones de Fresnel que resolvemos son:
z

C(z) =

cos u2 du

(14)

sin u2 du

(15)

0
z

S(z) =
0

Para resolverlas num´ericamente las descompondremos en series de potencias. Para lograr la convergencia en pocos t´erminos, dividimos, para valores
peque˜
nos de z, en una serie de potencias positivas (la serie de Taylor) y para
valores grandesde z usaremos una serie de potencias negativas. El l´ımite
entre grande y peque˜
no lo discutiremos m´as adelante.
Para poder aplicar el desarrollo en serie a la integral, esta debe ser absolutamente convergente. En este caso lo son, por lo que podemos aplicar que
f=

g=

4

g

(16)

Figure 2: y =

x
0

cos u2 du

Figure 3: y =

x
0

sin u2 du

5

4

Desarrollo de Taylor

El desarrollo en seriede Taylor del coseno y del seno son:
u2 u4 u6
+
−
+ ...
2!
4!
6!
u3 u5 u7
sin u = u −
+
−
+ ...
3!
5!
7!

cos u = 1 −

(17)
(18)

El desarrollo de cos u2 y sin u2 por tanto:
u4 u8 u12
+
−
+ ...
2!
4!
6!
u6 u10 u14
= u2 −
+
−
+ ...
3!
5!
7!

cos u2 = 1 −

(19)

sin u2

(20)

Integrando estos polinomios entre 0 y z, nos queda:
1 z5 1 z9
1 z 13
+
−
+ ...
5 2! 9 4! 13 6!
1 z 11
1 z 15
1 3 1 z7
z −
+−
+ ...
S(z) =
3
7 3! 11 5!
15 7!

C(z) = z −

(21)
(22)

que podemos expresar de forma compacta as´ı:
np

C(z) =

(−1)i

z 4i+1
(4i + 1)(2i)!

(23)

(−1)i

z 4i+3
(4i + 3)(2i + 1)!

(24)

i=0
np

S(z) =
i=0

5

Desarrollo en serie de potencias negativas

En primer lugar calculamos una aproximaci´on asint´otica de la siguiente integral:
2
∞
−1 ∞ −2t · e−t
−t2
I(z) =
e dt =
dt,
(25)
2 z
t
zIntegramos por partes y obtenemos
2

e−z
1
I(z) =
−
2z
2
6

∞
z

2

e−t
dt
t2

(26)

Integramos por partes en la integral que aparece en la f´ormula (26). As´ı,
∞
z

2

∞

e−t
−1
dt
=
t2
2

z

2

2

∞

−2te−t
1 ez
3
dt
=
−
t3
2 z3
2

z

2

e−t
dt.
t4

(27)

Sustituyendo (27) en (26) obtenemos:
2

2

∞

1 e−z
3
1 e−z
− 2 3 + 2
2 z
2 z
2

I(z) =

z

2

e−t
dt.
t4

(28)

En general, para cada n ∈ N
∞
z...