Estadistica variables estadísticas bidimensionales.e hipotesis

Variables Estadísticas Bidimensionales.
Regresión y Correlación

Cuando sobre una población estudiamos simultáneamente los valores de dos variables estadísticas, el conjunto de los pares de valores correspondientes a cada individuo se denomina distribución bidimensional.
Recta de regresión
Supongamos que en una variable bidimensional queremos precisar la relación que existe entre las dosvariables que la forman. En concreto queremos expresar mediante una relación cómo depende una de ellas (variable dependiente) de la otra (variable independiente). Normalmente se elige como y la variable dependiente y como x la independiente.
Si esa relación se expresa mediante una función lineal del tipo y = ax + b, su gráfica correspondería a una recta.
En el caso que nos ocupa nos interesa larecta que mejor "se ajuste" a los puntos de la nube de puntos de la variable. Dicha recta se denomina: recta de regresión.
Por un método que se denomina de "mínimos cuadrados" y cuya concreción no corresponde a este nivel de estudio, se deduce que la recta de regresión debe pasar por el punto correspondiente a las medias de ambas variables y que debe tener por pendiente la covarianza dividida porla varianza de la variable x.
Con ello la expresión de la recta de regresión será: [pic]

Esta es la llamada "Recta de regresión de y sobre x". Si se deseara estudiar la dependencia de x respecto a y sólo habría que cambiar en la expresión de la recta x por y, obteniéndose la recta regresión de x sobre y.
En la imagen siguiente se muestra la recta de regresión de y (peso) sobre x (talla) delejemplo 1 de este tema. En este caso se supone que represente cómo depende el peso de una persona de su talla.
[pic]
Si recordamos que entre la talla y el peso decíamos que existía una dependencia directa, la recta de regresión lo confirma ya que su pendiente es positiva: a medida que aumenta la talla aumenta el peso. Por tanto:
Dependencia directa - Pendiente de la recta positiva - Funcióncreciente.
Pero ¿qué utilidad tiene la recta de regresión?
En la tabla de valores de la variable talla - peso, solamente nos dan los valores de un determinado número de personas (10 en este caso): las personas de las que se conocen dichos valores. Mediante la recta de regresión podríamos obtener de manera aproximada el peso de una persona de la que conociéramos la talla, en una población semejante aaquella de la que se ha obtenido la muestra.
Si observamos la gráfica anterior, podríamos suponer por ejemplo que una persona de 185 cm pesaría algo más de 80 kg.
De manera más precisa, si conocemos la expresión de la recta de regresión, se pueden calcular valores para la variable y, conocidos los de x, como si se tratara de una función.

Medida de la correlación
La apreciación visual de laexistencia de correlación no es suficiente. Usaremos un parámetro, llamado coeficiente de correlación que denotaremos con la letra r, que nos permite valorar si ésta es fuerte o débil, positiva o negativa.  
El cálculo es una tarea mecánica, que podemos realizar con una calculadora o un programa informático. Nuestro interés está en saber interpretarlo.

Ejemplo 4.- La recta de regresión de lavariable y (talla) sobre x (peso) será la recta:
- que pasa por el punto (172,6 ; 66,3)
- tiene de pendiente: 55,32 / 50,71 = 1,0909
Recta: y - 66,3 = 1,0909 ( x - 172,6) que operando y simplificando queda:
y = 1,0909x - 121,9
El valor del peso que suponíamos aproximado para una talla de 185 cm sería: Peso= 1.0909 · 185 - 121,9 = 79.9
Este valor obtenido es algo menor al esperado. Eso quieredecir que las predicciones hechas con la recta de regresión no son exactas. En el apartado siguiente precisaremos la "fiabilidad" de las mismas.
Por tanto la recta de regresión se puede utilizar para realizar predicciones para la variable y a partir de valores conocidos de la variable x.
Ejercicio 4.- Observar la tabla de valores siguiente y la escena donde dichos valores están representados....