Estadistica

Distribuciones de Probabilidad Normal [Gaussiana]

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Distribución Normal o Gaussiana
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal (guassiana) si su pdf está dado por, 1 # (x # µ )2 / ( ! 2 ) 2 f X (x ) = e 2" ! • La distribución gaussiana es la reina de las distribuciones. En este universo, la naturaleza secomporta gaussianamente. • El teorema del límite central garantiza que cualquier otra distribución se comporta como una gaussiana cuando se hacen un número suficiente de experimentos: “la suma de muestras independientes para cualquier distribución con valor esperado y varianzas finitos converge a la distribución normal conforme el tamaño de muestras tiende a infinito”. • El primer uso de ladistribución normal fue la de hacer una aproximación continua a la distribución binomial.
Introducción a la Probabilidad
Francisco Rodríguez Henríquez

Distribución Normal o Gaussiana
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal (guassiana) si su pdf está dado por, 1 # (x # µ )2 / ( ! 2 ) 2 f X (x ) = e 2" ! • La distribución gaussiana es la reina de las distribuciones. En esteuniverso, la naturaleza se comporta gaussianamente. • "Everybody believes in the Normal frequency distribution: the experimenters, because they think it can be proved by mathematics; and the mathematicians, because they believe it has been established by observation" (Whittaker and Robinson 1967, p. 179).
Whittaker, E. T. and Robinson, G. "Normal Frequency Distribution." Ch. 8 in The Calculus ofObservations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 164-208, 1967.
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Francisco Rodríguez Henríquez

Distribución Normal: valor esperado
Una variable aleatoria X es llamada variable aleatoria normal (guassiana) si su pdf, representado como N(µX, σ2X), está dado por, 1 # (x # µ ) / ( ! ) 2
f X (x ) =

Con: Haciendo x = x-µ+µ, se tiene: " 1(x # µ )e #(x # µ ) / (2$ )dx + µ (x ) = E (x ) = 2 !# "
2 2

2" ! µ X = E (X ) =

e

2

2

1 2% $

!

"

#"

xe

# (x # µ )2 /( 2$ 2 )

µ
2%$ 2

Substituyendo y=x-µ en la primera integral se obtiene:

2%$

!

"

#"

2 2 e #(x # µ ) / (2$ )dx

1 E (X ) = 2% $

!

"

#"

ye

# y 2 / 2$ 2

dy + µ ! f X (x )dx = µ
#"

"

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Francisco Rodríguez Henríquez

Distribución Normal: Varianza
2 Con: $ X = E[X # µ X ]2 = 1 !" (x # µ X )2 e #(x # µ ) /( 2$ ) 2% $ #" Pero, por definición: $ % (x % µ )2 / ( " 2 ) 2 e dx = " 2! #%$ Tomando la derivada con respecto a σ, se obtiene:
2 2

d$ e
#%

%

# (x # µ )2 /( 2" 2 )

dx

d"

=$

%

#%

(x # µ )2 e #(x # µ ) /( 2"
2

2

)

"

3

dx = 2!Y multiplicando ambos lados por
1 2% $

" 2 / 2!

se tiene que:

"!# (x ! µ ) e

#

2

! (x ! µ )2 / 2$ 2

( )dx = $ 2 = $ 2 = Var ( X ) X

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Distribución Normal o Gaussiana
• • Se usa la notación N(µ; σ2) para denotar que la variable aleatoria X es normal con promedio µ y varianza σ2. A una variable aleatorianormal Z con promedio cero y varianza 1 se le llama variable aleatoria normal estándar:
f X (x ) =

•

Suponga que X tiene distribución normal N(µ; σ2). La variable aleatoria estandariza se obtiene a partir de la distribución de X, substituyendo: Z = (X-µ)/σ.

1 "(x )2 / 2 e ! N (0;1) 2#

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Regla 68-95-99.7
1 "(x )2 / 2 fX (x ) = e ! N (0;1) 2#

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Propiedades de la distribución normal
1. 2. Si X~N(µ,σ) y a, b son dos constantes reales arbitrarias, entonces: aX+b~N(aµ+b, (aσ)2) Si X~N(µX,σX) y Y~N(µY,σY) son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces: a. La suma está distribuida normalmente, así que: U = X+Y...