estadistica










Modelo de diseños factoriales y diseños 2k




Introducción


En el tema anterior se analizaron la posible influencia de un factor sobre la variable respuesta, aleatorizando las observaciones para eliminar el efecto de otros factores. En este capítulo analizaremos modelos en los cuales dos o más factores pueden influir en la variable respuesta. Se emplea la siguientemetodología:

1. Identificar los factores que pueden influir en la variable respuesta y proponer un modelo

2. Realizar el experimento, tomando las observaciones necesarias


3. Estimar los parámetros del modelo


4. Contrastar si los factores influyen en la respuesta


5. Si los factores influyen en la respuesta, detectar dónde radican las diferencias


6. Si algún factor noinfluye, simplificar el modelo y repetir los pasos anteriores


7. Realizar la diagnosis del modelo mediante el análisis de los residuos


Un diseño factorial es aquél en el que se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada ensayo completo. En este caso se dicen que están cruzados, apareciendo el concepto de interacción.


Se supone la existencia derepeticiones del experimento en cada una de las posibles combinaciones de los niveles del factor correspondiente.

Concepto de interacción


Para ilustrar de forma intuitiva lo que es la interacción vamos a tomar dos conjuntos de datos. Consideramos dos factores: α (niveles α1 y α2) y β (niveles β1 y β2).

Primer caso: dos factores sin interacción. Los datos son:


α\β
β1
β2
α1
1020
α2
30
40

El efecto principal del factor α es la diferencia entre la respuesta promedio de α1 y

α2 :



Eα =
10 + 20
2 −
30 + 40
= 20 2

y el efecto principal del factor β es:



Eβ =
10 + 30
2 −
20 + 40
= 10 2

Ahora bien, para el nivel β1, el efecto del factor α es:



Eα|β1 = 10 − 30 = −20

y para el nivel β2 es:



Eα|β2 = 20 − 40 = −20

De formasimilar, los efectos del factor β para los niveles α1 y α2 son, respectivamente:



Eβ |α1 = 10 − 20 = −10




Eβ |α2 = 30 − 40 = −10

Entonces, el efecto de uno de los factores no depende de los niveles del otro factor, lo cual indica que no hay interacción entre los factores. Cuando ambos factores tienen dos niveles, el efecto de la interacción es la diferencia entre los promedios delas diagonales,
que es en este caso:



Eαβ =
10 + 40
2 −
30 + 20
=0
2

lo que indica que no hay interacción. Los siguientes gráficos de perfil muestran la falta de

interacción ya que las rectas que aparecen son paralelas.






40

35

30

25

20

15

10
a1 a2
factor a
factor b b1
b2





40

35

30

25

20

15

10
b1 b2
factor b
factora a1
a2





Segundo caso: dos factores con interacción. Los datos son:



α\β
β1
β2
α1
10
20
α2
30
0


El efecto principal del factor α es



Eα =
10 + 20
2 −
30 + 0
=0
2

lo que indicaría que el factor α no tendría ningún efecto en la respuesta. Sin embargo, para el nivel β1, el efecto del factor α es:
Eα|β1 = 10 − 30 = −20


y para el nivel β2 es:Eα|β2 = 20 − 0= 20

Entonces, aunque el efecto principal indique que el factor α no influye en la respuesta, el efecto que produce α depende del nivel seleccionado del factor β y se concluye que hay interacción entre α y β.


El efecto de la interacción es en este caso:




Eαβ =
10 + 0
2 −
30 + 20
= 20 2

lo que indica que hay interacción. Los siguientes gráficos de perfilmuestran la existencia

de interacción ya que las rectas que aparecen se cruzan entre sí.







30

25

20

15

10

5

0
b1 b2
factor b
factor a a1
a2










30

25

20

15

10

5

0
a1 a2
factor a
factor b b1
b2





En este caso, la variable respuesta Y puede depender también de dos factores α y β,


Para comprobar la existencia de...