Estadistica

ESTADÍSTICA I

Lección 3. Análisis conjunto de dos variables
Estadística I

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Lección 3. Análisis conjunto de dos variables
3.1 Presentación de los datos 3.2 Distribuciones de frecuencias asociadas a una distribución bidimensional. Independencia estadística. 3.3 Medidas de asociación lineal: Covarianza y coeficiente de correlación lineal 3.4 Regresión lineal.
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Pilar LópezESTADÍSTICA I

3.1 Presentación de los datos

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Tabla doble entrada
Consideremos una población de N elementos, donde cada uno de ellos presenta dos caracteres que estudiaremos conjuntamente, X e Y

x1 x2 xi xk
n• j

y1 y2 ... n11 n12 ... n21 n22 ... ni1 ni2
...

yj n1j n2j nij nkj
n• j

... ... ... ... ... ...

yp n1p n2p nip nkp
n• p

n i•
n1• n 2•

n i•

nk1 nk2 ... n •1 n•2 ...

nk•

N
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Pilar López

ESTADÍSTICA I

Ejercicio- Tabla doble entrada
Tenemos dos variables que son: número de hijos de una familia (X) y kilómetros de distancia entre el trabajo y el domicilio familiar (Y). Los datos corresponden a 63 familias:

x

y

0 1 2

1 24 6 4

3 8 1 2

5 4 2 12

Se pide: a. Distribuciones marginales b. Media y varianza de las distribucionesmarginales

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Ejercicio- Tabla doble entrada
a. Marginales
y

x

0 1 2
n• j

1 24 6 4 34

3 8 1 2 11

5 4 2 12 18

n i•

36 9 18 63

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Pilar López

ESTADÍSTICA I

Ejercicio- Tabla doble entrada
b.
xi n i• x i n i• x i2 ni•

yj

n• j

2 y jn • j y j n • j

0 1 2

36 9 18

0 9 36 45

0 9 72 81
S =
2 x

1 3 5

34 11 18

34 33 90 157

34 99450 583

x=

∑xn
i

i i•

N

45 = = 0.7143 63
157 = = 2.4921 63

∑x n
i

2 i i•

N

−x =

2

81 − 0.71432 = 0.7755 63
583 − 2.49212 = 3.0436 63
7

∑y n
y=
j

j •j

N

2 Sy =

∑y n
i

2 j •j

N

−y =

2

3.2 Distribuciones de frecuencias asociadas a una distribución bidimensional. Independencia estadística.

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Pilar López

ESTADÍSTICA ICovariación-Casos
• • • • Dependencia causal unilateral x y Interdependencia x y Dependencia indirecta z x z y Covariación casual

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3.3 Medidas de asociación lineal: Covarianza y coeficiente de correlación lineal

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Pilar López

ESTADÍSTICA I

Diagramas de dispersión

No hay relación

Relación lineal directa

Relación lineal inversa

Relación no lineal

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Diagrama dedispersión
II
y

I

III
x

IV

 zona I  zona II  ( xi − x )( y j − y ) =  zona III  zona IV 

+ -   + - 

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Pilar López

ESTADÍSTICA I

Covarianza-Definición
Es una medida numérica de la variación conjunta de dos variables
S xy =

∑∑ (x
i j

i

− x y j − y nij N

)(

)

Si, como es habitual, nij = 1, la fórmula sería:
S xy =

∑ (x
i

i

−x yi − y N

)(

)

Interpretación: Sxy > 0 La covariación entre X e Y es positiva o directa Sxy = 0 No existe covariación lineal entre X e Y Sxy < 0 La covariación entre X e Y es negativa o inversa
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Covarianza-Fórmula de cálculo
∑x y
i i

S xy =

i

N

− xy

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Pilar López

ESTADÍSTICA I

Covarianza- cambios de origen y escala
- Los cambios de origen no afectan ala covarianza
x′ = x + a S x′y′ = S xy y′ = y + b

- Cambio de escala en ambas variables
x′ = ax y ′ = by S x′y′ = abS xy

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Covarianza- cambios de origen y escala
- Cambio de escala en x
x′ = ax S x′y = aS xy

- Cambio de escala en y
y′ = by S x′y′ = bS xy

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Pilar López

ESTADÍSTICA I

Coeficiente de correlación lineal
r= S xy Sx S y

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Coeficiente de correlaciónlineal Interpretación
Se puede demostrar que:

0 ≤ r ≤1
Interpreta ción : • r = −1 Correlación lineal perfecta e inversa o negativa •r =1 Correlación lineal perfecta y directa o positiva •r = 0 No existe correlació n de tipo lineal • r ≈1 • r ≈0 Correlación lineal fuerte Correlación lineal débil
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Pilar López

ESTADÍSTICA I

3.4 Regresión lineal.

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Regresión y = y* + e...