Estadística Inferencial

Unidad 2
ESTIMACIÓN:
La estimación se divide en tres grandes bloques, cada uno de los cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del estudio:
Estimación puntual:
Método de los momentos;
Método de la máxima verosimilitud;
Método de los mínimos cuadrados;
Estimación por intervalos.
Estimación bayesiana.

2.1Introducción

* Objetivos de la estimación estadística
* Su finalidad es proporcionarnos las herramientas necesarias para poder determinar buenas aproximaciones (a los que llamaremos estimaciones) a aquellos valores desconocidos en la población (a los que técnicamente se les denomina parámetros) y que estamos interesados en conocer.
* Planteamiento delproblema de estimación
* X variable cuantitativa en una población. La distribución de probabilidad de X es conocida salvo por uno o varios parámetros (por ejemplo, la media poblacional, μ, la varianza poblacional, σ2, la proporción asociada a una distribución binomial, p etc.)
* Disponemos de los datos x1 , . . . , xn que constituyen una Muestra Aleatoria Simple de lavariable X.
* La estimación estadística de un parámetro (llamémosle θ) consiste en determinar valores, calculados a partir de x1, . . . , xn que de alguna manera aproximen a θ: bien proporcionando valores cercanos a θ (estimación puntual), bien proporcionando un par de valores entre los cuales se encuentre el de θ (estimación por intervalos).

2.2 Características deun estimador

Un estimador de un parámetro poblacional es una función de los datos muestrales, también llamado estadístico. En pocas palabras, es una fórmula que depende de los valores obtenidos de una muestra, para realizar estimaciones.3
Formalmente, si θ es un parámetro poblacional, se dice que es un estimador puntual de θ si , donde son las variables aleatorias que integranuna muestra aleatoria de tamaño n de la población en cuestión.
Por ejemplo, un estimador de la media poblacional, μ, puede ser la media muestral, , según la siguiente fórmula:

donde (x1, x2, ..., xn) sería el conjunto de de datos de la muestra. -- xXx ---
El estimador es una variable aleatoria que asigna a cada posible valor de la muestra un valor numérico. Como tal, tiene sentido calcular suesperanza, su varianza y otras características propias de las variables aleatorias.

Estimador insesgado:
Por supuesto, cualquier función de la muestra, con la definición anterior, podría ser un estimador, pero es deseable que las estimaciones que surjan a partir de un estimador "se parezcan", en cierto modo, al parámetro que se desea estimar.
Con este propósito, se dice que un estimador de unparámetro θ es insesgado si su esperanza es el propio θ.

Estimador eficiente:
Un estimador de un parámetro θ es eficiente si su varianza es mínima. Esto hace que haya menos variabilidad entre las distintas estimaciones que podemos obtener (cada muestra dará una estimación diferente). De esta forma, la estimación será más fiable. Hay una cota mínima dentro de las varianzas que se puede obtenerpara cualquier estimador con un sesgo determinado. Esta cota se llama cota de Cramér-Rao. Si la varianza de un estimador es igual a esta cota, sabremos que su varianza es mínima, y por tanto, estaremos seguros de que es eficiente. Sin embargo, no siempre esta cota es alcanzable, por lo que no siempre podremos saber si el estimador que hemos utilizado es el más eficiente de todos. Para ello, cuandodudamos entre dos estimadores diferentes, y ninguno de ellos tiene una varianza igual a la cota de Cramér-Rao se utiliza el coeficiente de eficiencia relativa.

2.3 Estimación puntual
Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada. Por ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede...