Estimación Robusta En Modelos Parcialmente Lineales Generalizados

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matem´tica a

´ ESTIMACION ROBUSTA EN MODELOS PARCIALMENTE LINEALES GENERALIZADOS

Tesis presentada para optar al t´ ıtulo de Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el ´rea a Ciencias Matem´ticas a

Lic. Daniela A. Rodriguez

Directora de tesis: Dra. Graciela L. Boente Boente.

Lugar de trabajo:Instituto de C´lculo, FCEyN, UBA. a

Buenos Aires, diciembre de 2007.

Estimaci´n Robusta en Modelos Parcialmente Lineales Generalizados o

En esta tesis, introducimos una nueva clase de estimadores robustos para las componentes param´tricas y noparam´tricas bajo dos modelos parcialmente lineales generalizados. En el primero, e e las observaciones independientes (yi , xi , ti ), 1 ≤ i ≤ nsatisfacen yi | (xi , ti ) ∼ F (·, µi ) con µi = H (η(ti ) + xt β), para una funci´n de distribuci´n F y una funci´n de v´ o o o ınculo H conocidas, donde i ti ∈ IR, xi ∈ IRp . La funci´n η : IR → IR y el par´metro β son las cantidades a estimar. Los o a estimadores robustos se basan en un procedimiento en dos pasos en el que valores grandes de la deviance o de los residuos de Pearson se controlana trav´s de una funci´n de escores acotada. e o Los estimadores robustos de β resultan ser n1/2 −consistentes y asint´ticamente normales. El o comportamiento de estos estimadores se compara con el de los estimadores cl´sicamente usados, a a trav´s de un estudio de Monte Carlo. Por otra parte, la funci´n de influencia emp´ e o ırica permite estudiar la sensibilidad de los estimadores. El modelogeneralizado parcialmente lineal de ´ ındice simple, generaliza el anterior pues las observaciones independientes son tales que yi | (xi , ti ) ∼ F (·, µi ) con µi = H (η(αt ti ) + xt β), donde i ahora ti ∈ IRq , xi ∈ IRp y la funci´n η : IR → IR y los par´metros β y α ( α = 1) son desconocidos o a y se desean estimar. Introducimos dos familias de estimadores robustos que resultan ser consistentesy asint´ticamente normales. Calculamos tambi´n su funci´n de influencia emp´ o e o ırica. Todas las propuestas dadas mejoran el comportamiento de los estimadores cl´sicos en presencia a de observaciones at´ ıpicas.

Palabras Claves: Estimadores de N´ cleos; Estimadores Robustos; Modelos Parcialmente Lineales; u Suavizadores; Tasa de convergencia.

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Robust Estimation in GeneralizedPartially Linear Models

In this thesis, we introduce a new class of robust estimates for the parametric and nonparametric components under two generalized partially linear model. In the first one, the data (yi , xi , ti ), 1 ≤ i ≤ n, are modeled by yi | (xi , ti ) ∼ F (·, µi ) with µi = H (η(ti ) + xt β), for some known i distribution function F and link function H, where ti ∈ IR, xi ∈ IRp . Thefunction η : IR → IR and the parameter β are unknown and to be estimated. The robust estimators are based on a two step procedure, where large values of the deviance or Pearson residuals are bounded through a score function. It is shown that the estimates of β are root–n consistent and asymptotically normal. Through a Monte Carlo study, we compare the performance of these estimators with that of theclassical ones. Besides, through their empirical influence function we study the sensitivity of the estimators. The generalized partially linear single index model generalizes the previous one since the independent observations are such that yi | (xi , ti ) ∼ F (·, µi ) with µi = H (η(αt ti ) + xt β), where i now ti ∈ IRq , xi ∈ IRp and η : IR → IR, β and α ( α = 1) are the unknown parameters to beestimated. Two families of robust estimators are introduced which turn out to be consistent and asymptotically normally distributed. Their empirical influence function is also computed. The robust proposals improve the behavior of the classical ones when outliers are present.

Keywords and phrases: Kernel Weights; Partly linear models; Rate of convergence; Robust estimation; Smoothing.

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