Estimaciones Puntuales

Tema 3: Estimación puntual de parámetros. Propiedades. Métodos de obtención de estimadores.
Margarita Sánchez García

Concepto de Estimador. Error cuadrático medio

Métodos de inferencia estadística
• Estimación: Se conoce la forma de la ley de probabilidad que depende de algún parámetro desconocido y daremos al parámetro un valor numérico único (Estimación puntual) o un intervalonumérico que lo contenga (estimación por intervalos).
– Ejemplo: N(μ,1) con μ parámetro desconocido de la población.
Estimación puntual: μ=3 Estimación por intervalos : [2.5, 3.3]
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Métodos de inferencia estadística
• Contrastación: Se trata de corroborar o invalidar una determinada afirmación acerca de la distribución de probabilidad. Se distingue:
– Contrastes paramétricos:
Si se refiere a unoo varios parámetros de la población. (Ejemplo: Lanzamos la hipótesis de que μ =3).

– Contrastes no paramétricos:
Si se refiere a otros aspectos de la distribución. (Ejemplo: Lanzamos la hipótesis de que la función de distribución de la población es una normal).
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Estimación puntual. Planteamiento del problema
• Tenemos una v.a ξ ~ f(x,θ) donde θ es un parámetro desconocido de lapoblación (θ = (θ1, θ2, …, θk) ), con θєΘ. • Ejemplos: ξ ~U(0, θ ) con θ>0 ξ ~ N(μ ,σ2) con μ є R y σ2>0 • Seleccionamos una m.a.s de tamaño n: X= (x1, x2, … , xn). Y por tanto se cumplirá que: – Cada xi es una v.a. con función de probabilidad f(xi,θ)
para i = 1,2,…,n. – x1, x2, … , xn son v.a. Independientes.
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Estimación puntual. Planteamiento del problema
• Objetivo: Aproximarnos al verdaderovalor del parámetro (θ), a partir de la información que nos proporciona la muestra. • ¿Cómo? Seleccionando un estadístico t que es función únicamente de los valores muestrales y que no depende del parámetro θ, de forma que el valor que tome el estadístico se asignará a θ. Este estadístico recibe el nombre de estimador.
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Estimación puntual. Planteamiento del problema
• Se toma como valor de θ:θ = t ( x1 , x 2 ,..., x n )
que recibe el nombre de estimación puntual. • Observación: el estimador es una v.a., pues depende de los valores muestrales que son v.a. • Para un parámetro existen muchos estimadores y además para cada uno de ellos existen tantas estimaciones como muestras se puedan obtener. Así que será necesario establecer criterios para medir la bondad de un estimador. 7

)Estimación puntual. Planteamiento del problema
• En principio un estimador será mejor que otro si está más cerca del valor desconocido θ, pero eso es imposible de saber pues θ es desconocido. • Objetivo: Definir criterios o propiedades que nos permitan comparar estimadores. • Una forma de medir el error que cometemos cuando ) sustituimos θ por θ es a través del Error Cuadrático Medio (ECM)que va a Medir, en media y al cuadrado, la diferencia entre el estimador y el 8 parámetro.

Error Cuadrático Medio (ECM)
• Definición: Se define como el momento de segundo orden ) respecto de θ en la distribución del estimador θ . ) ) 2 ECM θ = E θ − θ Operando se llega a que: ) ) ) 2 ECM θ = V θ + E θ − θ ≥ 0 ) ) donde b θ = E θ − θ recibe el nombre de sesgo.

()

((

))

() () ( () )() ( () )
() ()

• Situación ideal: ) ) V θ = 0 Y E θ =θ
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Propiedades de los Estimadores

Estimador Insesgado o Centrado
• Definición: ) Un estimadorθ del parámetro θ se dice que es ) insesgado si: E (θ ) = θ • Si el estimador no fuera insesgado se cumple: ) ) E (θ ) = θ + b (θ ) • Ejemplos: ~ 2 – Estimadores insesgados: x , S n −1 y V
– Estimadores sesgados: S
2 n

con sesgo b (σ) = −

)2

σ2
n
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Estimador Insesgado o Centrado
ESTIMADOR INSESGADO ESTIMADOR SESGADO

SESGO < 0

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Estimador Asintóticamente Insesgado
• Definición: ) Un estimadorθ del parámetro θ se dice que es asintóticamente insesgado si: ) b(θn ) n→∞→ 0   Es decir, que a medida que aumenta el tamaño muestral disminuye el sesgo. • Así : σ2 ) 2 n→ ∞ → 0   – S n con sesgo b (σ 2...