Estructura

Cap´ ıtulo 4

Grupos: Elementos b´sicos a
4.1. Grupos

Definici´n 4.1.1 Un grupo es un par (G, ·), donde G es un conjunto no vac´ y · es una o ıo operici´n binaria que satisface las siguientes propiedades: o 1. Asociativa: (x · y) · z = x · (y · z), ∀ x, y, z ∈ G. 2. Neutro: Existe e ∈ G tal que x · e = e · x = x, ∀ x ∈ G. 3. Sim´trico: Para cada x ∈ G, existe x ∈ G tal que x · x = x · x = e.e Definici´n 4.1.2 Si en un grupo G se satisface la propiedad conmutativa, es decir xy = yx o para todo x, y ∈ G, diremos que G es un grupo conmutativo o abeliano. Lema 4.1.3 Sea G un grupo. Entonces: 1. El elemento neutro del grupo G es unico. ´ 2. Para cada x ∈ G, existe un unico sim´trico x ∈ G. ´ e ´ Demostracion. 1. Si e1 , e2 son elementos neutros en G, entonces e1 = e1 e2 = e2 . 2. Si x y xson elementos sim´tricos de x en G, entonces x = x e = x (xx ) = (x x)x = e ex = x .

Notaci´n 4.1.4 En lo que sigue, y siempre que no exista riesgo de confusi´n, el (´nico o o u )elemento neutro de G se denota por 1, y el (´nico) elemento sim´trico de x ∈ G se denota u e por x−1 . Lema 4.1.5 Sea G un grupo. Entonces: 1. (xy)−1 = y −1 x−1 , 2. (x−1 )−1 = x, 3. (1)
−1

∀ x, y ∈ G.

∀ x ∈ G.= 1.

´ Demostracion. 37

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Cap´ ıtulo 4. Grupos: Elementos b´sicos a 1. (xy)(y −1 x−1 ) = x(yy −1 )x−1 = x1x−1 = xx−1 = 1. Por ser unico el sim´trico de un ´ e elemento, (xy)−1 = y −1 x−1 . 2. Como x−1 x = xx−1 = 1, (x−1 )−1 = x. 3. Como 1 · 1 = 1, 1−1 = 1. Vamos a ver a continuaci´n algunos ejemplos de grupos. o

Ejemplos 4.1.6 1. (Z, +), (Q, +), (R, +) y (C, +) son gruposabelianos, cuyo elemento neutro es el n´mero u cero, y el sim´trico es el opuesto del n´mero dado. e u 2. (Z, ·) no es un grupo, ya que el n´mero 5 ∈ Z no tiene inverso en Z. u 3. Sean Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0}, C∗ = C \ {0}. Entonces, (Q∗ , ·), (R∗ , ·), (C∗ , ·) son grupos abelianos, donde · representa el producto usual. El elemento neutro es el n´mero 1, y el sim´trico es el inverso del n´mero dado.u e u 4. Si consideramos los complejos no nulos en forma polar, estos se escriben como rΘ , siendo r un real positivo no nulo, y Θ un real que representa un ´ngulo radi´n. La a a operaci´n es, entonces, rΘ · sϕ = (rs)(Θ+ϕ) . En consecuencia, si fijamos r = s = 1, la o operaci´n de multiplicaci´n se reduce a la suma de argumentos (m´dulo 2πZ). Por lo o o o tanto, el conjunto S 1 = (x, y) ∈ R2 : x2 +y 2 = 1 es un grupo con la multiplicaci´n o compleja, siendo el neutro 10 , y el sim´trico de 1Θ el elemento 1−Θ . e 5. Sea K un cuerpo, y sea GLn (K) el conjunto formado por las matrices cuadradas de orden n con coeficientes en K cuyo determinante es no nulo, es decir, GLn (K) = {A ∈ Mn (K) | det(A) = 0} . Entonces (GLn (K), ·) es un grupo, donde · representa a la multiplicaci´n usual de omatrices. Si n ≥ 2, (GLn (K), ·) es un grupo no abeliano. 6. Asimismo, SLn (K) = {A ∈ Mn (K) | det(A) = 1} , y On (K) = A ∈ Mn (K) | A−1 = At , son grupos no abeliano respecto la multiplicaci´n usual de matrices. o 7. Sea X un conjunto no vac´ Denotaremos por S(X) el conjunto de las aplicaciones biıo. yectivas (llamado grupo de permutaciones o grupo sim´trico del conjunto X) definidas e en X, es decirS(X) = {f : f es aplicaci´n biyectiva en X} . o Entonces (S(X), ◦), donde ◦ representa la composici´n de aplicaciones, es un grupo. o En el caso que X sea el conjunto finito En = {1, 2, . . . , n}, se denota a S(En ) por Sn . Este grupo tiene un inter´s relevante, y dedicaremos a su estudio un cap´ e ıtulo posterior. Para n ≥ 3, (Sn , ◦) no es abeliano. Definici´n 4.1.7 Sean G1 y G2 dos grupos.Definimos, en el conjunto G1 ×G2 la operaci´n o o (a1 , a2 ) · (b1 , b2 ) = (a1 b1 , a2 b2 ). Entonces, (G1 × G2 , ·) es un grupo, denominado producto directo de G1 y G2 . La definici´n de producto directo de una familia finita de grupos extiende o de manera natural a una familia arbitraria.

4.2 Subgrupos.

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4.2.

Subgrupos.

Definici´n 4.2.1 Dados (G, ·) un grupo y H un subconjunto no vac´...