Estructuras

M ONOGRAFÍAS M ATEMÁTICAS
UTFSM

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
GRUPOS Y ANILLOS
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Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa María

Rubén A. Hidalgo

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
GRUPOS Y ANILLOS

PRIMERA EDICIÓN 2009

Rubén A. Hidalgo
Departamento deMatemática, Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso,
Chile.
E-mail : ruben.hidalgo@usm.cl
Url : http://docencia.mat.utfsm.cl/~rhidalgo

Este libro fué parcialmente patrocinado por los proyectos Fondecyt 1070271 y UTFSM 12.09.02.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
GRUPOS Y ANILLOS

PRIMERA EDICIÓN 2009
Rubén A. Hidalgo

A Betty, Cata y Pucky

INTRODUCCIÓN

El propósito de este libro es presentardesde un punto de vista básico (en lo posible) el
concepto de grupos y anillos que puedan ser utilizados por estudiantes de Licenciatura en
Matemáticas e Ingeniería Civil Matemática de nuestro Departamento de Matemática de
la UTFSM.
Muchos de los fenómenos que encontramos en la naturaleza tienen ciertas simetrías
con las cuales podemos sacar conclusiones que nos permitan entender tal situación deuna manera simple. Muchos casos corresponden a problemas de la física y biología. Por
ejemplo en física, conceptos como momentos angulares, tensores, etc., aparecen como
propiedades de la teoría de grupos. En biología podemos entender moléculas y cristales
por sus grupos de simetrías.
Muchos temas se han propuesto como ejercicios para que el estudiante pueda poner
en práctica los conceptos yaestudiados. Por supuesto, esto podría tener la desventaja de
producir una idea de aislamiento de los temarios tratados, lo cual no es nuestro propósito.
Es claro que en esta primera version existen muchos errores tipográficos y de temarios.
Esperamos que durante el transcurso del curso los estudiantes puedan hacer las correcciones al escrito y así poder tener en el futuro unas notas mejoradas, lascuales deberán
crecer con el tiempo.
Mis primeros agradecimientos van dirigidos a Betty, Cata y Pucky, a quienes quite
tiempo de dedicación para escribir esta monografía, por su comprensión durante ese
tiempo. Quiero también agradecer de manera especial a Sebastian Reyes, Víctor González
y a todos aquellos quienes leyeron parte de estas notas y me indicaron algunos errores.

Valparaíso, Chile 2009Rubén A. Hidalgo

TABLA DE MATERIAS

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Parte I. Teoría Básica de Grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Grupos de Permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
1.1. Grupos por medio de permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Orden de un grupo de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Subgrupo de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
4
4

2. Grupos. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Definición de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Grupos Abelianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Generadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. El pequeño teorema de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. El teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....