Estudioa

´ Instituto Tecnologico de Costa Rica ´ Escuela de Matematica

´ Calculo Diferencial e Integral II Semestre de 2004

Ejercicios sobre l´ ımites
Determinaci´n de l´ o ımites de una funci´n dada su gr´fica o a Considere las funciones siguientes y sus representaciones gr´ficas. En cada caso, y si existen, determine a a partir de la gr´fica los l´ a ımites que se indican.
y 3 2 1 x -3 -2 -1 1 2 34 5

(a)

x→−3+ x→−1 x→2

lim f (x)

(b) lim f (x) (c) lim f (x) (d) f (−1); f (2) (e)
x→+∞

1.

lim f (x)

3 2 1 -1,5 -1 1 1,5

(a) (b)

x→−∞

lim f (x) lim f (x)

x→−3/2

2.

(c) lim f (x)
x→3/2

(d) f (3/2) (e)
x→+∞

lim f (x)

2

(a)

x→−∞ x→−2 x→−1 x→0

lim f (x)

(b) lim f (x)
1 -2 -1 1 2 3

(c) lim f (x) 3.
-1

(d) lim f (x) (e) lim f (x)x→2 x→3

(f) lim f (x) (g)
x→+∞

lim f (x)

1

(a)
2,5 2

x→−∞ x→−2 x→−1 x→0

lim f (x)

(b) lim f (x) (c) lim f (x)
1

4.

-2

-1

(d) lim f (x)
-2

(e) lim f (x)
x→1

(f)

x→+∞

lim f (x)

(a)

x→−∞ x→−3

lim g(x)

(b) lim g(x)
3

(c) lim g(x)
x→−1 x→0 x→1

5.
-3

1 -2 -1 1 2 4

(d) lim g(x) (e) lim g(x) (f) lim g(x)
x→2

-2

(g)

x→+∞lim g(x)

(a)
2

x→−∞ x→−3 x→−2 x→0

lim h(x)

(b) lim h(x) (c) lim h(x)

6.

-3

-2 -2

(d) lim h(x) (e)
x→+∞

lim h(x)

2

(a)

x→−∞ x→−2 x→0 x→2

lim f (x)

(b) lim f (x)
2

7.
1 -2 2

(c) lim f (x) (d) lim f (x) (e)
x→+∞

lim f (x)

Construcci´n de la gr´fica de una funci´n conociendo sus l´ o a o ımites En cada caso siguiente considere los datosindicados sobre la funci´n f y dibuje una gr´fica que la represente. o a 1. • Dh = I − {−2, 2} R •
x→−∞ x→−3

lim h(x) = −∞

• f (−3) = 1 • lim h(x) = −∞
x→−2− x→−2+

• lim h(x) = −∞
x→2− x→2+

• lim h(x) = +∞ •
x→+∞

• lim h(x) = −2 2. • Df = I − 0 R • lim f (x) = +∞
x→−∞

•

lim h(x) = +∞

lim h(x) = +∞

• lim f (x) = 0
x→0−

• f (x) = 1, ∀x ∈]0, 1[ •
x→−1+ x→1−

• f (2) =2; f (3) = 1 • lim f (x) = +∞
x→+∞

3.

• Dg =] − ∞, 1[∪]2, +∞[ • lim g(x) = 4
x→−∞

lim g(x) = +∞

• lim g(x) = +∞
x→2+

• lim g(x) = +∞

•

• 4.

x→−2−

lim g(x) = −∞

x→+∞

lim g(x) = 5

• Df = I R−] − 2, 2[ • lim f (x) = +∞
x→−∞

• lim f (x) = −3
x→−4

• f (−4) = −2 • lim g(x) = −∞
x→1+

• f (−2) = f (2) = 0 • lim f (x) = −2
x→+∞

5.

• Dg = I − [0, 1]R •
x→+∞

• f (−3) = f (2) = 0 • f (3) = 3; f (4) = 5; f (5) = 4 • lim h(x) = +∞
x→2+

lim g(x) = 3

• lim g(x) = −∞
x→0−

6.

• Dh =] − 3, +∞[−{−2, 3} • lim h(x) = 0
x→3

•

x→−2+ x→2−

lim h(x) = 5

• lim h(x) = −∞

•

• 7.

x→−2−

lim h(x) = 4

x→+∞

lim h(x) = 2

• Df = I R • lim f (x) = −2
x→−∞ x→−2

• lim f (x) = −∞
x→0

• lim f (x) = 2
x→3−

•lim f (x) = 4
x→3+

• f (3) = 3 y f (−2) = 1. • limitex+∞f (x) = −2 • lim f (x) = 1
x→2+

• lim f (x) = 2 8. • Df = I − {0} R • lim f (x) = +∞
x→−∞

• lim f (x) = 1
x→0− x→0+

• lim f (x) = −1 • lim f (x) = 0
x→2−

• •

x→−2− x→−2+

lim f (x) = +∞

• f (2) = 1 • lim f (x) = 3
x→+∞

lim f (x) = −∞

3

Calcule los siguientes l´ ımites (si existen). En caso de que noexistan, justifique su respuesta. √ 3 5y − 15 x3 + 2x2 − 5x − 6 1 − sen r − 1 √ 20. lim 1. lim 3 39. lim 2 − 4x − 4 y→3 1 − 9 2y − 5 x→2 x + x r→0 r √ sen z x2 + x − 6 2 − 6 3a + 64 40. lim 2. lim 3 21. lim z→0 z + sen z x→−3 x + 2x2 − 3x a→0 5a t − sen (2t) √ 41. lim a3 − b − ab + a2 3 − 4 k + 82 t→0 t + sen (3t) 3. lim 22. lim √ b→a2 2a3 − 2ab + b − a2 k→−1 3 k + 28 − 3 1 − cos3 n 42. lim 2w3 − 4aw2 +2a2 w 4h n→0 sen 2 n 4. lim 4 23. lim √ w→a w + aw 3 − 2a2 w 2 h→0 5 3h − 1 + 1 tan y − sen y √ 43. lim 2z 3 − 3z 2 + z 4 y→0 sen 3 y 1 − 4t − 3 5. lim √ 24. lim 2 z→−3 √ √ z−6+z t→−2 1 + 3 2t + 3 2 − 1 + cos a 44. lim √ a3 − 3a2 − a + 3 a→0 sen 2 a y − |y − 2| 6. lim 2 − 2a − 3 25. lim a→3 a y→4 1 − cos t y−4 45. lim 2 − 25 t→0 t2 a 2a − 6 √ 7. lim √ 26. lim a→5 2 − a − 1 1 − cos r a→3 4|a −...