Exàmens Eq.Difs.

´
EQUACIONS DIFERENCIALS I MODELITZACIO II
Examen Parcial, (15 d’Abril de 2010)

¨
´
QUESTIO 1: (i) Enuncieu el Teorema de Hartman.
(ii) Considereu el seg¨ent model de compet`ncia entre dues esp`cies:
u
e
e
x = x(1 − x − ay),
˙
y = y(1 − y − bx),
˙

amb a > 0 i b > 0.

En funci´ dels valors de a i b, estudieu quants punts cr´
o
ıtics t´. Usant, quan es pugui, el
e
Teorema deHartman, determineu com s´n el seus punts cr´
o
ıtics amb alguna coordenada
nul.la.
NOTA: No cal estudiar el tipus dels punt cr´
ıtics que no estan situats sobre els eixos

4 PUNTS

¨
´
QUESTIO 2: El moviment d’un p`ndol for¸at segueix l’equaci´ diferencial
e
c
o
g
θ ′′ = − sin(θ) + M,
ℓ
on g, ℓ i M s´n constants que prenen valors positius. Un cop adimensionalitzada, aquesta
oequaci´ es pot escriure com el sistema potencial
o
x = y,
˙
y = − sin(x) + K,
˙

K > 0.

Feu el seu retrat de fase, en funci´ de K > 0, i interpreteu el resultat en termes del
o
moviment del p`ndol.
e
6 PUNTS

1

´
EQUACIONS DIFERENCIALS I MODELITZACIO II
Examen 7 de Juliol de 2011
S’han de fer nom´s 4 problemes
e
Problema 1.

Considereu el seg¨ent model, anomenat SIR:
uS ′ = −rSI,
I ′ = rSI − I,

on r > 1, I = I(t) representa la quantitat d’individus infectats a l’instant t per una
certa malaltia i S = S(t) la quantitat d’individus sans susceptibles d’infectar-se.
(a) Trobeu una integral primera del sistema i useu-la per a fer el retrat de fase al primer
quadrant.
(b) Donada una certa poblaci´ inicial S0 , I0 calculeu quin ´s el m`xim valor de I per ao
e
a
la soluci´ que passa per aquesta condici´ inicial.
o
o
(c) Interpreteu el model i els resultats anteriors en termes de l’evoluci´ de la malaltia.
o
Per a quines condicions inicials no queda cap individu sense ser infectat?

Problema 2 L’equaci´ de segon ordre
o
˙
θ3
¨
θ = − sin θ − k ,
˙
|θ|

k > 0,

modela el moviment d’un p`ndol en un medi visc´s.
e
o
(a) Expliqueuperqu` el sistema de EDO t´ exist`ncia i unicitat de solucions.
e
e
e
˙ ˙
˙
(b) El terme que dona el fregament −kθ 3 /|θ| creix quadr`ticament amb |θ|. Expliqueu
a
˙ 2.
si tindria sentit f´ canviar-lo pel nou terme −kθ
ısic
(c) Escriviu aquesta equaci´ com un sistema potencial amb fregament. Feu-ne el retrat
o
de fase i interpreteu el resultat en termes del moviment del p`ndol. Pottenir `rbites
e
o
peri`diques?
o
1

Problema 3.

Considereu el sistema
x = −x + (2 − x)y,
˙
y = −y + (2 − y)x.
˙

(i) Estudieu localment els seus punts cr´
ıtics usant el Teorema de Hartman.
(ii) Demostreu que el conjunt W = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} ´s positivament
e
invariant.
(iii) Feu el seu retrat de fase a W . Per fer-lo podeu usar que no t´ cap `rbita peri`dica.
eo
o
(iv) Demostreu que no t´ `rbites peri`diques a W .
eo
o
(v) Demostreu que no t´ `rbites peri`diques a R2 .
eo
o

Problema 4. Trobeu la familia de superficies ortogonals a la familia uniparam`trica
e
de superficies z = axy, a ∈ R.

Problema 5.

Considereu l’equaci´ d’ona1 a la recta:
o
utt (x, t) − c2 uxx (x, t) = 0,

amb condicions de frontera
u(0, t) = u(ℓ, t) = 0, per atot t ∈ R.
Apliqueu el m`tode de separaci´ de variables per a trobar el m`xim nombre de solucions
e
o
a
linealment independents de la mateixa.
Com s’ha de procedir si volem trobar la soluci´ que compleixi alhora les condicions
o
inicials u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x)?

TEMPS: 4 hores
FEU ELS PROBLEMES EN FULLS SEPARATS
1
A classe hem estudiat la f´rmula de d’Alembert per a resoldreaquesta equaci´. En aquest problema
o
o
es demana estudiar-la usant el m`tode de separaci´ de variables.
e
o

2

´
EQUACIONS DIFERENCIALS I MODELITZACIO II
Examen 23 de Juny de 2011. S’han de fer nom´s 4 problemes.
e
TEMPS: 4 hores. FEU ELS 4 PROBLEMES EN FULLS SEPARATS
Problema 1. Una massa unit`ria obligada a moure’s sobre la recta vertical x = a > 0
a
est´ sotmesa al seu pes...